三角函数最值问题求解

李秀林

摘 要：本文对中学数学中常见三角函数最值问题做了归纳总结，从具体函数实例出发，列举了几种常用的解题思想方法.

关键词：三角函数；最值；方法；构造

三角函数是重要的数学运算工具之一，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

1.用三角函数的有界性求最值

在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个最基本也最重要的特征—有界性.利用正弦函数和余弦函数的有界性是求解三角函数最基本的方法.

3.三角函数中的几何方法

例6：求函数y=（0

解：将函数表达式y=，y可以看作连结两点A（2，0）与点B（cosx，sinx）的直线斜率，由于点B（cosx，sinx）的轨迹是单位圆的上半圆，所以求y的最小值就是在这个圆上求一点.使得相应的直线斜率最小.

设过点A的切线与半圆相切于点B，则kAB≤y<0可求得kAB=tan

所以y最小值-（此时x=），由于sin2x+cos2x=1，所以从图形的角度考虑，点B（sinx，cosx）在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数又含有余弦函数的三角函数的最值可考虑用几何方法求得.

三角函数最值问题类型繁多，所涉及的知识面广，解法灵活。所以在解题过程中，注意函数表达式的内在特点，题型结构特征，选用恰当的求解策略和方法技巧，使解题过程简捷巧妙，收到事半功倍的效果。……