一道高考试题的解法探究与错解剖析

王炳哲

2009年全国数学（Ⅰ）试卷理科21题（文科22题）是一道主要考查解析几何基本思想与基本方法的压轴题。从试题本身来看，其命题意图是考查学生数形结合、转化的数学能力，以及方程思想，函数最值方法的灵活运用的能力。试题对理科同学而言难度适中，对文科考生相对要难一些（满分12分，平均得分理科约为2.39分，文科约为0.81分），但该题对学生的审题能力、思维能力、运算能力等都起到了很好的考查作用。试题入手容易，但随着运算量、思维含量的加大要深入下去有一定的难度。

1 解法探究

2.2思想方法方面的错误

本题考查学生数形结合、转化的数学能力，以及方程数学思想。这些方法与思想如果考生运用自如，可以起到事半功倍的作用。但从高考答卷中可以看出，考生在这些方面出现问题较多，主要问题有：

1）一些考生不能充分利用数形结合的思想，通过观察图形，四个交点问题可以转化成两个交点和三个交点情况来解决；在解决两对角线交点问题时，如果通过图形的对称性来解决，直接设出点P的纵坐标为0，就好求多了，而通过这一点来做的廖廖无几；

2）在求解面积最值时，有些考生没有想到换元的思想解决，用所求的结果直接求导，不仅导致式子繁难，而且计算很容易出错，从而造成考生大量的丢分与失分。

2.3 运算方面的错误

对于本题来说，第一问的计算量不大，但是不少考生在计算过程中出现的错误是五花八门：1）在将y2=x代入（x-4）2+y2=r2过程中化简错误，考生化简成x2-9x+16-r2=0，x2-3x+16-r2=0，这样后面的求解都不对了；……