例说直线与圆位置关系的解题思路

刘美刚

【摘要】近年来，解析几何在数学高考卷中一直占据较高的分值比重，特别是直线与圆的位置关系是长期以来的重点考点。作为考生而言，必须充分理解它们间的关系和解答思路，不管题型如何变，无非考察的就是这三种关系——相交、相离、相切。直线与圆的位置关系除考查位置关系之外，还考查轨迹问题和与圆有关的最值问题。本文将从直线与圆的几种位置关系进行分析介绍，再对几种常见题型的的解题思路进行分析，为各学校教师提供点参考意见。

【关键词】直线 圆 位置关系 典型例题 解题思路

1.直线与圆的位置关系主要研究方法

方法一：几何法，从几何角度对直线与圆的位置关系进行研究，从形上看，直线与圆的位置关系就只存在三种情况：第一种是相离，直线和圆没有交点，如图1-1所示；第二种是相切，直线和圆有且只有一个交点，如图1-2所示；第三种是相交，直线和圆有两个交点，如图1-3所示。

方法二：代数法，通过解析几何这一载体把几何问题代数化，用数学运算的方法进行研究。典型的有两种方法：

（1）从一元二次方程实数解个数进行研究

把直线与圆方程联立，化简得到关于x或y的一元二次方程，将交点问题转化为求方程实数解个数问题，这一方法求解思路清晰，容易领会。当 ，方程无实数解，则直线与圆相离无交点；当 ，方程有一实数解，则直线与圆相切有一交点；当 ，方程有两个不同实数解，则直线与圆相交有两交点。

（2）从圆心到直线的距离d和半径r的数量关系进行研究