空间中特定自仿测度的谱性质分析

李　敏

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710062)



空间中特定自仿测度的谱性质分析

李敏

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710062)

摘要:在三维空间R3中，当M=1/2[p1+p2,p1-p3,p2-p3;p1-p2,p1+p3,-p2+p3;-p1+p2,-p1+p3,p2+p3],D={0,e1,e2,e3}时,其中pj∈Z{0,±1}(j=1,2,3),e1,e2,e3是R3中的单位向量,对迭代函数系{φd(x)}d∈D产生的自仿测度μM,D的谱性质进行分析.得到:(1)当pj∈2Z{0,2}(j=1,2,3)或p1=p2=p3=2时,μM,D是谱测度;(2)当p1,p2,p3至少有一个数是偶数时,空间L2(μM,D)中存在无限正交系E(Λ)且Λ⊆Z3;(3)当pj∈2Z+1{±1}(j=1,2,3)时,μM,D不是谱测度,且空间L2(μM,D)中正交指数函数系至多包含4个元素,且数字“4”是最好的.

关键词:谱测度;正交指数函数系;数字集

1引言及主要结论

设M∈Mn(Z)为n阶整数扩张矩阵,D⊂Zn为有限数字集且基数为|D|.由仿射变换组成的迭代函数系{φd(x)=M-1(x+d)}d∈D产生的自仿测度μ:=μM，D是满足等式

(1)

(2)

这里M*表示M的共轭转置矩阵(实际上,M*=Mt)，且

(3)

关于自仿测度的谱与非谱问题还有以下两个猜测:

猜测1[10]设M∈Mn(Z)为扩张矩阵,D⊂Zn为有限数字集且0∈D,如果存在S⊂Zn,0∈S,使得(M-1D,S)为和谐对,则μM，D是谱测度.

猜测2[11]设M∈Mn(Z)为扩张矩阵,D⊂Zn为有限数字集,如果|D|∉W(m),这里W(m)是|det(M)|=m的素数因子的非负整数组合,则μM，D不是谱测度,且空间L2(μM，D)中正交指数函数系至多有有限个.

猜测1和猜测2只能在一定条件下证明其成立[7，10-12]，对于一般情况下是否成立还有待进一步的研究.对于上述M,D,S,由迭代函数系{Ψs(x)=M*-1(x+s)}s∈S产生的吸引子为T:=T(M*,S),且

(4)

自仿测度的谱与非谱问题主要在平面上进行讨论,而且结论比较完善[13].而空间上仅对M是对角矩阵或上三角矩阵讨论过[14].对M是任意的三阶矩阵还有一定的难度与复杂性.本文在此基础上,对特殊的三阶矩阵进行讨论,推广文献[14]的结论并得……