挖掘基本模型巧解题

谈岳



挖掘基本模型巧解题

谈岳

中考中涉及反比例函数的考点不仅考查反比例函数的相关性质，而且常与其他几何图形相结合考查，因此考查面较广又比较复杂，很多同学常常找不到解题突破口.笔者认为，这类题型的解决方法还是有章可循的，其中模型法的应用常常能让问题简单化.下面就来谈谈反比例函数的三个模型及其应用，供参考.

一、反比例函数三个模型（证明略）

①

结论：S矩形ABCO=2S△ABO=S△OCD=S梯形ABCD.

②

结论：AB=CD.

③

结论：BD∥CE.

注：以上三个模型中在反比例函数图像上的点都是图像上的任一点.

二、模型应用

A.8B.6C.4D.2

图1

解：∵点P在双曲线m上，

∴S矩形OCPD=

又∵点A、B在双曲线n上，

∴S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△OAC-S△OBD=10-3-3=4.故选C.

图2

【分析】由模型③，可得EF∥AC，所以△BEF∽△BAC，

【解答】可得EF∥AC，所以△BEF∽△BAC.

又因为E是AB的中点，S△BEF=2，

即S△BEF∶S△ABC=1∶4，S矩形AOCB=16，

③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；

请写出所有正确命题的序号_______.

图3

（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；

解：过E作EM⊥OB于M，

命题①错误.理由如下：

命题②正确.理由如下：

又∵EN=CE，∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故命题②正确.

命题③错误.理由如下：

由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命题③错误.

命题④正确.理由如下：

为简化计算，不妨设k=12m，则E（4m，3），F（4，3m）.

∴D（0，3m+3）；G（4m+4，0）.

如图4，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3.

图4

在Rt△DAE中，AD=OD-OA=3m，AE= 4m，由勾股定理得：DE=5m；

在Rt△EMG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5.

∴k=12m=1，故命题④正确.

综上所述，正确的命题是：②④.

【点评】本题综合考查了反比例函数图像上点的坐标特征、基本模型、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度.本题计算量较大，解题过程中注意认真计算.

总之，利用反比例函数的以上3个模型，是解……