关于指数Diophantine方程ax+by=z2的一个注记

付瑞琴，杨 海，裴元太

(1．西安石油大学理学院，陕西西安710065; 2．西安工程大学理学院，陕西西安710048)

关于指数Diophantine方程ax+by=z2的一个注记

付瑞琴1，杨 海2*，裴元太2

(1．西安石油大学理学院，陕西西安710065; 2．西安工程大学理学院，陕西西安710048)

设a和b是大于1的互素的正奇数．当(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)或(5，63)时，方程ax+by=z2无正整数解(x，y，z)．运用初等数论方法证明了以下一般性的结果:如果a是适合a≡±3(mod 8)的奇素数，b有约数d可使(a/d)=－1，其中(a/d)是Jacobi符号，则该方程仅有正整数解(a，b，x，y，z)=(11，3，4，5，122)．

指数Diophantine方程;二次剩余;Jacobi符号

1 主要结论

丢番图方程形式的多样性和求解原则的复杂性决定了丢番图方程的研究没有统一的方法．杨仕椿［1］借助Beukers的一些丢番图逼近的深刻结果和初等数论方法，讨论了一类广义Ramanujan－Nagell丢番图方程在特殊条件下的一些非例外情形，给出了一些有意义的结论．

设Z、N分别表示全体整数和正整数的集合．设a和b是大于1的互素的正奇数，文献［2－5］证明了:当(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)或(5，63)时，方程

无正整数解(x，y，z)．该方程属于指数丢番图方程，近年来有关指数丢番图方程的研究已得到了很多有意义的结果(参见文献［6－13］)．对于方程(1)本文应用初等数论方法证明了以下一般性的结果:

定理1 如果a是适合a≡±3(mod 8)的奇素数，b有约数d可使

这里(*/*)是Jacobi符号，则方程(1)仅有正整数解

显然，数组(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)和(5，63)都满足本文定理1的条件，所以文献［2－5］的结果都是本文定理1的推论．

2 若干引理

引理1 如果正奇数a和d满足(2)式，则d＞1且d必有奇素因数q可使

证明 因为(a/1)=1，所以a和d满足(2)式时必有d＞1．将d表示成奇素数q1，q2，…，qk的乘积，即

根据文献［14］的第3．6节，由(2)式可得

由于(a/qi)=±1(i=1，2，…，k)，故由(5)式……