奇异函数方法在分析压杆临界荷载P_cr中的应用

李绮文 丁婷 丁圣果

摘要：应用奇异函数能量法或静力法可较方便计算压杆的临界失稳荷载P_cr，包括在各种边界约束条件下的连续多跨压杆，对于变截面压杆，无论是分段凸变截面还是连续变截面，采用基于奇异函数的能量法计算临界力较静力法更为简便，采用不同振型函数所得算计算结果相差在±5%范围，用以估计临界力的上限值是工程上可接受的。

关键词：奇异函数；能量法；静力法；临界荷载

中图分类号：TU311

1.引言

不同边界约束条件下连续压杆的临界荷载是工程上广泛关注的问题，对压杆临界荷载分析计算的经典方法是静力法，但因边界支承条件的复杂而难于建立相应的超越方程。基于临界失稳状态的能量特征的能量法近年来得到较广泛应用，但对于复杂体系而言以能量原理建立数力模型仍十分冗繁。借助计算机高速数值分析能力的有限单元法是工程上分析复杂结构临界失稳力的有效方法，但因编程与结构体系物理特性相关，（如一阶线性分析或带初始缺陷的非线性分析），计算程序的编制仍难于为工程技术人员接受。对基于变分或差分原理对复杂稳定问题建立起的基本方程组，一些研究人员采用渐近法求解，其中文献采用了拓扑相似理论逼近复杂体系临界荷载的方法上较为新颖。

将奇异函数用于连续变截面压杆稳定问题的研究目前尚不多见，奇异函数因其所具有的表征非连续量的强大功能，在结构分析的许多领域已得到成功应用。由于变截面压杆和有中间支承的连续压杆，其截面特性及受力特性的间断行为易于用奇异函数表征，基于此，我们提出应用基于奇异函数的静力法和能量法分析变截面连续压杆的一阶临界荷载的方法，不同算例的计算结果表明这方法用于连续压杆临界荷载的分析计算是便捷可靠的。

2.计算等截面连续压杆临界荷载的静力法

压弯杆（图1）的压曲微分方程生的弯矩，（1）式的解函数y（x）即为不同支座形式的连续压杆（图1）在轴向压力P作用下的压曲方程：

（2）式右边前两项为挠曲微分方程（1）的齐次通解，其中y₀，y^'₀为左端0支座处的杆端初挠度和初转角，（2）式后两项为挠曲微分方程（1）的非齐次特解，m₀为左端嵌固或定向滑动时该端的弯矩。y（x0为中间支座j反力引起的挠曲函数项，当中间支座为支杆时，支反力R_j产生的y_j（x）可用奇迹异函数表示成：

在（2）式中，y₀，y^'₀，m₀，R_j，m_j（j=1，2，…n-1）均为表征压杆位移和力边界条件的待定常数，但在稳定问题分析中，这些常数并不必求出。根据压杆端部及中间支座处隐含的边界条件，可由（2）式建立使屈曲函数恒不为零的齐次线性方程组y（x_j）；0（j=1，2…），方程个数与待定常数个数相同，根据齐次线性方程组非零解条件，令方程组中待定常数的系数行列式|D|=0为零，即得求k的方程，临界荷载含在k中。一般情况下，未知量k的方程均为超越方程。

以图2a所示压杆（EI=常数）为例，杆左端嵌固，因此有y₀=0，y^'₀=0，按（2）式杆的压曲方程为：

稳定问题的超越方程可用渐近法求解，编程十分简单，在我们的编程计算中，变量x的渐变步长取10^-5，控制精度<10^-3。由（f）式解得：

其中Y（x）为杆的压曲试函数。

I（x）表明截面惯性矩可随位置x变化，无论杆段上I（x）分段突变还是连续变化，采用奇异函数方法表示I（x）均十分方便，因此对于变截面压杆，采用能量法计算P^cr是适合的。例如对于图4的变截面杆，其惯矩I（x）可表示为：

4.结论

4.1奇异函数因具备表达非连续物理量的强劲功能在经典力学中已得到广泛应用，采用奇异函数静力法或能量法，均能较便捷地计算连续压杆的临界失稳荷载P^cr。

4.2对于变截面梁，无论其惯性矩I随截面位置x连续变化还是分段突变，用能量法求解十分方便。所涉及的屈曲函数只须满足梁端边界条件，表一给出不同边界条件的各种梁的压屈函数可供计算P^cr时使用，采用不同压屈函数Y（x）所得结果相差在±3%范围。

4.3基于临界失稳状态的势能泛函极值原理，采用能量法所得结果为临界力P^cr的上限解，与精确解的误差一般不大干5%。