向量组线性相关与线性无关的判定方法

侯雯昕（华东师范大学 经济与管理学系，上海 200062）



向量组线性相关与线性无关的判定方法

侯雯昕
（华东师范大学 经济与管理学系，上海 200062）

摘 要：向量组的线性相关性是线性代数理论的基本概念，它与向量空间、子空间等概念有密切关系，同时在解析几何以及常微分方程中有广泛应用.本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法，包括利用线性相关性的定义、行列式的值、矩阵的秩及齐次线性方程组的解等判定向量组的线性相关性，并比较了几种不同判定方法的适用条件.

关键词：向量组；线性相关；线性无关；行列式；矩阵

向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解和掌握，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，只要掌握了线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.因此，本文主要论述了向量组的线性相关性的几种判定方法.

1 线性相关及相性无关的概念及性质

1.1 定义

设有n维向量组a1,a2,…,an，如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn使k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量组a1,a2,…,an线性相关；如果仅当k1,k2,…,kn全为0时，上式k1a1+k2a2+…+knan=0才成立，则称向量组a1,a2,…,an线性无关.

1.2 性质

由向量组的概念易知向量组的线性相关性具有以下简单性质：

（1）含有零向量的向量组线性相关.

（2）若单个向量a≠0，则向量组是线性无关的；相反，则向量组线性相关.

（3）含有n+1个向量的n维向量组必定线性相关.

（4）向量组中一部分向量线性相关，则该向量组线性相关；若向量组线性无关，则其任一部分向量组线性无关……