一道高考数学新定义题引发的探究

王佩　赵思林

[摘要]2016年高考数学四川卷理科15题给出了“伴随点”、“伴随曲线”的定义，这道题目立意深远、背景深刻、富含探究价值的问题.利用“伴随点”、“伴随曲线”的定义，对直线、圆的“伴随曲线”作了一番探究，得到了2个性质，如，不经过原点的直线的“伴随曲线”是圆，圆的“伴随曲线”是直线或圆等.对“伴随点”、“伴随曲线”进行重新定义，得到了几个类似的或新的问题.

[关键词]高考数学；新定义；探究

问题是数学的心脏，问题是探究的焦点.有效的数学探究依赖于好的数学问题.好的数学问题一般具有思考性、启发性、探究性、开放性、推广性等特点.2016年高考数学四川卷理科15题就是一道立意深远、背景深刻、结论开放、易于推广、富含探究价值的好问题.该题新定义了考生未曾学过的“伴随点”、“伴随曲线”，要求考生从这两个新定义出发，判断4个命题的真假.下面运用“伴随点”、“伴随曲线”的定义，主要对直线、圆的“伴随曲线”作了一番探究，得到了2个有趣的性质，如，不经过原点的直线的“伴随曲线”是一个圆，圆的“伴随曲线”是直线或圆等.这些新性质对今后学习高等数学中的仿射变换、映射等知识是很好的几何模型.

2016年高考数学四川卷理科15题是：在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（yx2+y2，-xx2+y2）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；……