脱胶圆衬砌及其边缘直裂纹对出平面波的散射

南景富, 赵春香, 齐　辉, 杨在林, 高国付, 于丽艳, 赵继涛

(1.黑龙江科技大学 理学院,哈尔滨　150022； 2.哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院,哈尔滨　150001)

脱胶圆衬砌及其边缘直裂纹对出平面波的散射

南景富1, 赵春香1, 齐辉2, 杨在林2, 高国付1, 于丽艳1, 赵继涛1

(1.黑龙江科技大学 理学院,哈尔滨150022； 2.哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院,哈尔滨150001)

通过数学物理方法中的Green函数法研究了界面上含有上半圆形脱胶圆形衬砌及其边缘界面直线型裂纹的均匀双相介质全空间对出平面动力的响应。首先，给出了在含有半圆形凸起的圆形衬砌的下半空间和含半圆形凹陷的上半空间在水平分界面上任意一点加载出平面线源波动时在各自区域产生的位移场；再者，给出出平面波任意角度入射时的入射波、反射波、折射波和散射波函数；其次，采用裂纹"切割"方法构造直线型裂纹,并应用边界条件对上下半空间在界面处实施“契合”，建立起问题的定解方程组；最后做为算例讨论分析了裂纹尖端动应力强度因子的数值结果。

动应力强度因子(DSIF);半圆形脱胶;直线型裂纹;Green函数；出平面动力响应

随着新材料科学的迅速发展，力学界人士对材料中缺陷的受力响应问题一直有很高的热情，尤以对材料中的断裂问题有很大的兴趣。20世纪50年代末,Williams分析了全空间均匀双相介质材料界面裂纹静力问题, 在20世纪 90 年代刘殿魁等研究了界面裂纹尖端动应力强度因子在数值解基础上的影响因素，汪越胜等计算了圆形边界由于局部脱胶形成的曲线裂纹结构的裂纹尖端动应力强度因子的解析解及数值解。

本文采用数学物理方法中的 Green 函数法研究了水平界面上含有上半圆形脱胶衬砌及其边缘界面直线型裂纹的全空间双相均匀材料在承受任意角度入射的出平面波时产生的应力场和位移场,并推导了计算裂纹尖端动应力强度因子的函数方程。并以此问题的纹尖端动应力强度为算例进行了数值求解，讨论了本力学模型的几何参数、物理参数以及入射波数对动应力强度因子的影响。

1　所研究问题的力学模型

图1(a)表示的是本问题的力学模型，即在界面上含有半圆形脱胶的圆形衬砌及其边缘界面裂纹的全空间。将模型沿着界面S分成上下两个半空间，上半部分为一含有半圆性凹陷的半空间，如图1(b)所示；下半部分为一含有半圆形凸起圆形衬砌的半空间，如图1(c)所示。

图1　问题的力学模型Fig.1 The mechanics model of problem

2　线源波动载荷引起的位移函数

当在图1(b)所示的上半空间水平边界的任意一点加载一与时间协和的线源波动荷载时，上半空间的位移场通过Green函数法可表示为[5-11]

(1)

当在图1(c)所示所示的下半空间水平边界的任意一点加载一与时间协和的线源波动荷载时，下半空间的衬砌内位移场和下半空间其余部分位移场可分别表示为

W(st)=W′(st)+W″(st)=

(2)

(3)

式中，Am,Bm,Cm，Qm为待求常数，由边界条件决定。W0为波的最大幅值。W(i)为入射波。W(s)为散射波。

(4)

3　问题的求解

图2表示的是在本问题的力学模型空间中， 出平面波的以任意角度α0入射时的模型。

其中的入射波W(i)、反射波W(r)、和折射波W(f)的波场可表示为

(5)

(6)

(7)

式中,α0为波的入射角,α4为波的折射角

图2　出平面波入射模型Fig.2 The model of the incidence of anti-plane-wave

同时采用与前面求解线源波动载荷引起的位移函数相同的方法，可以求得上下半空间中的散射波。

在下半空间的分界面s上，总的位移场和应力场可计算为

(8)

在上半空间的分界面s上，总的位移场和应力场可以计算为

(9)

图3　模型接合示意图Fig.3 Forming bi-media material

(10)

(11)

式中，a为衬砌的外半径，c为裂纹的长度。

动应力强度因子(DSIF)的表达式为

式中，H表示裂纹尖端到原点O的距离。

f(G1+G2)=[f][G]=

通过上面关系式，可使kⅢ直接包含在定解积分方程组中。

无量纲的DSIF表达式为

(12)

特征参数Q在本问题中可表达为

τ0为入射波W(i)沿α0方向产生的应力最大值，表达式为

4　数值计算结果分析

(a) α0=90°,μ*1=1.0,μ*2=1.0,k*2=1.0,c/a=0.5(b) α0=90°,μ*1=1.0,μ*2=1.0,k*2=0.5,c/a=0.5(c) α0=90°,μ*1=1.0,μ*2=1.0,k*2=2.0,c/a=0.5图4 出平面波α0=90°时,k*1不同时,DSIF随k1a的变化Fig.4ThevariationofDSIFvs.k1aimpactedbyanti-planewaveverticallywhileα0=90°andk*1isdifferent

(4) 图7给出了出平面波入射时，DSIF随α0的变化情况。由图可见，当k1a位于低频段，α0为100度左右时，DSIF出现最大值；当k1a=0.1时，为准静态，DSIF随入射角的变化出现“双峰”，并呈现近似90°度位置左右对称。

(a) α0=90°,μ*1=1.0,μ*2=1.0,k*1=1.0,c/a=0.5(b) α0=90°,μ*1=1.0,μ*2=1.0,k*1=0.5,c/a=0.5(c) α0=90°,μ*1=1.0,μ*2=1.0,k*1=2.0,c/a=0.5图5 出平面波α0=90°时,k*2不同时,DSIF随k1a的变化Fig.5ThevariationofDSIFvs.k1aimpactedbyanti-planewaveverticallywhileα0=90°andk*2isdifferent

(a) α0=90°,μ*1=1.0,μ*2=1.0,k*2=2.0,k1a=0.5(b) α0=90°,μ*1=1.0,μ*2=1.0,k*2=0.5,k1a=0.5图6 出平面波入射时DSIF随c/a的变化Fig.6ThedistributionofDSIFatcracktipvs.c/aimpactedbyincidentanti-planewave

(a) k*1=1.0,k*2=0.5,μ*1=1.0,μ*2=1.0,c/a=0.5(b) k*1=1.0,k*2=2.0,μ*1=1.0,μ*2=1.0,c/a=0.5图7 出平面波入射时DSIF随α0的变化Fig.7ThedistributionofDSIFatcracktipvs.α0impactedbyincidentanti-planewave

5　结　论

(1) 应用Green函数法研究了含有界面脱胶衬砌及其边缘直裂纹的全空间在任意角度入射的出平面波作用下所产生的位移场和应力场。

(2) 通过数值计算结果讨论可得出，衬砌及其周边介质的物理参数参数、裂纹和衬砌的几何参数参数以及入射波参数的变化对DSIF有影响。

(3) 通过对比分析可以得出，裂纹和衬砌的几何参数的变化对DSIF变化幅度的影响较小。

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Scattering of anti-plane wave by a cylindrical lining with a disconnected curve and its edge’s linear cracks

NAN Jing-fu1, ZHAO Chun-xiang1, QI Hui2, YANG Zai-lin2, GAO Guo-fu1, YU Li-yan1, ZHAO Ji-tao1

(1. College of Science,HeilongjiangUniversity of Science and Technology, Harbin 150022, China; 2. Civil Engineering College, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The dynamic response of a whole space of homogeneous Bi-medium with an interface containing a circular lining with a semicircular degumming and its edge’s linear cracks to anti-plane force was studied with Green’s function. Firstly, the displacement fields described with Green’s functions were deduced for the upper half space with a semicircular hollow and the lower half space containing a cylindrical elastic lining with a semicircular hill when an out of-plane line source wave was applied on the horizontal interface. Secondly, the functions of incident wave, reflected wave, refracted wave and scattering wave were derived with anti-plane wave at any incident angle. Thirdly, linear cracks were constructed using the method of “cutting”, the upper and lower half spaces were joined to satisfy the boundary conditions in the conjunction area, and the governing equations of the solution were established. Finally, as an example,the numerical results for the dynamic stress intensify factor(DSIF) of the linear cracks were analyzed.

dynamic stress intensify factor(DSIF); semicircular disconnected curve; linear cracks; Green’s function; dynamic response of anti-plane force

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.024

黑龙江省自然科学基金项目(A201419)

2015-04-02修改稿收到日期：2015-06-19

南景富 男，博士，教授，1967年出生

O343.1

A