基于中心流形理论的四轮转向汽车Hopf分岔分析

宋作军

(淄博职业学院 汽车工程系，山东 淄博　255314)

基于中心流形理论的四轮转向汽车Hopf分岔分析

宋作军

(淄博职业学院 汽车工程系，山东 淄博255314)

以四轮转向汽车(4WS)为研究对象，利用分析力学方法，建立了二自由度动力模型。利用Hurwitz代数判据，对4WS系统Hopf分岔进行了计算，得到分岔点。利用中心流形理论将高维4WS汽车系统降到二维，并通过计算二维分岔稳定性指标的正负判定原系统Hopf分岔的类型。利用Matlab软件对系统进行了仿真。结果表明，4WS汽车在一定的参数组合下出现转向自动摆动的性质，对振动的控制研究具有重要的参考价值。

四轮转向；Hopf分岔；Hurwitz行列式；中心流形理论

汽车转向就是按照驾驶员的意愿控制汽车的行驶方向。前轮转向汽车具有低速时转向不灵活，高速时方向稳定性差等缺点。为了改善汽车转向的操纵性，提高汽车行驶的稳定性，增加汽车的舒适性和安全性，上世纪70年代末，国外开始研究四轮转向(4WS)系统[1]。4WS是指汽车除了通常的前轮转向之外，附加相应的后轮转向。

汽车的操纵性是指驾驶员以最少的修正而能维持汽车按照给定的路线行驶，以及按照驾驶员的愿望转动转向盘，以改变行驶方向的性能。4WS主要目的是增强汽车在高速行驶或在侧向风力作用下的操纵稳定性，改善低速行驶的操纵轻便性及高速行驶的转弯半径[2-3]。随着现代控制理论与技术的发展，研究汽车四轮转向系统的Hopf分岔具有重大意义。

文献[4]建立了四轮转向汽车的三自由度非线性动力学模型，应用非线性分岔和稳定性理论以及时域仿真对均匀路面工况的稳定性进行了分析，并与前轮转向汽车进行了对比，但对分岔行为没有讨论。文献[5]建立了二自由度四轮转向汽车模型的动力学方程，对其进行系统的理论分析得出了四轮转向汽车的质心侧偏角、横摆角速度、侧向加速度与前轮转角的传递函数。基于某四轮转向样车，对以零质心侧偏角为控制目标的前后轮转角比例四轮转向车辆的操纵动力学进行了仿真分析，但没有研究分岔现象。文献[6] 建立整车扩展的三自由度操纵模型，利用常微分方程稳定性理论和数值分析，表明自激型摆振是一种非线性动力学Hopf分岔后出现的稳定极限环振动现象，但没有进行理论分析。本文在上述文献研究的基础上，利用中心流形降维理论，将高维四轮转向系统降维，并根据分岔稳定性指标判定原系统Hopf分岔类型，通过Matlab软件编程验证理论结果的正确性。本文丰富了4WS汽车的Hopf分岔的应用研究，为4WS汽车的控制研究提供了有力的技术支持。

1　4WS汽车动力学方程

1.14WS汽车模型的建立

汽车转向时要求降低车速，4WS汽车高低速的区分值约为30 km/h，高速时后轮转向角范围一般在0°～2°[3]。

图1为二自由度4WS汽车模型[7]。

各参数含义及数值如表1所示。

图1　四轮转向汽车模型Fig.1 Steering model of a four-wheel automobile

参数符号数值前轮横向力Ff后轮横向力Fr重心CG固定坐标系χ-y随体坐标系η-ξ汽车前进速度U汽车横向速度υ随体坐标系与x轴夹角ψ汽车偏转角速度r前轴至重心距离a1.48m后轴至重心距离b1.92m轴距ι前轮转向角δf后轮转向角δr汽车质量m1640kg汽车Z轴转动惯量Iz2720kg·m2轮胎角刚度系数C1f=C3f33.02kN/rad轮胎角刚度系数C1r=C3r55.83kN/rad驾驶者在前方可视距离L50m视觉延时Tr0.5s

1.24WS汽车动力学方程的建立[7]

4WS汽车前后车轮采用比例转向控制方式， 系数为kp

δr=kpδf

(1)

车体运动的动力方程：

(2)

侧偏力可由αf和αr的三次多项式表示如下：

(3)

式(3)中Cif、Cir(i=1,3)分别为前后轮胎角刚度系数，αf、αr分别为前后轮胎侧偏角。

(4)

在固定坐标系，用(x,y)表示重心G的位置，有如下关系:

(5)

引入司机对汽车调整控制模型，当驾驶者在前方可视距离L内发现汽车对于路的中心线有一个横向偏移时，力图对汽车施加δp(t)的转向角以调整汽车减小偏移。引入回路放大系数K，视觉延时Tr，则该模型可表示为控制参量的微分方程。

(6)

引入δd(t)，表示外界对前轮的周期性扰动，源自周期性的路面横向变形，或者是转向机构的影响。

δd(t)=Qcos(ωdt)

(7)

Q表示扰动的幅度，ωd表示扰动的角频率。

设最终作用于前轮的转向角为δf(t)，作用于后轮的转向角为δr(t)。则：

(8)

综合以上各式得到如下系统表达式:

(9)

式中：γ表示所有的物理参量(m,Iz,…)，Ff和Fr由式(3)给定，其中的αf和αr如下:

(10)

2　WS汽车Hopf分岔计算

2.1非线性模型Taylor展开式[7]

自治情况下，设四轮转向系统作用于前轮的周期横向扰动δd(t)为0， 作用于前轮的转向角为δp(t)，后轮的转向角为kpδp(t)。

在直线运动的情形下，起点Xe=(0,0,0,0,0)′显然是系统的一个平衡点。

为了分析系统的稳定性，将系统对Xi在Xe附近展开为多元的Taylor三次展开式为：

(11)

(12)

(13)

式中：

2.24WS汽车Hopf分岔计算

设A(γ)的特征多项式为：

λ5+a1λ4+a2λ3+a3λ2+a4λ+a5=0

(14)

det(λI-A)=

(15)

aij为A中对应的项。联系式(14)、(15)得：

a1=-a11-a22-a55

a2=a11a22+a11a55+a22a55-a12a21-a15a51

a3=a12a21a55+a15a22a51-a11a22a55-

a12a25a51-a15a53-a25a54

a4=a11a25a54+a15a22a53-

a12a25a53-a15a21a54-a25a53U

a5=a11a25a53U-a15a21a53U

(16)

构建Hurwitz行列式：

(17)

式中，如果j>5，则aj=0.

当U>0时，由式(17)得：

(18)

根据文献[8]定理1，实系数代数方程(14)有一对纯虚根±ωi、且其余3个根均具有负实部的充分必要条件是：

a1>0,a2>0,…,aj>0,j=1,2,…5 且

Δn-1=0,

Δi>0(i=n-3,n-5,…)

(19)

取kp=-0.01,k=0.001，将各参数数值代入Δn-1=0，解方程得到速度U的8个解，其中具有物理意义的失稳速度是：U=89.56

将U的值代入式(16)、(18)得：

a1=5.4934,a2=52.298 7,

a3=90.748 1,a4=6.577 5,

a5=11.353 3,Δ1=5.493 4,

Δ2=196.548 7,Δ3=17 638

上述各值都大于零，符合文献[8]定理1的条件，系统发生Hopf分岔。

2.34WS汽车Hopf分岔点类型判定

将各参数及分岔点速度U=89.56 km/h代入式(12)、(13) 得：

(20)

在分岔点处计算导算子的5个特征值。

(λ1,λ2,λ3,λ4,λ5)=(-1.749 8+6.490 7i,

-1.749 8-6.490 7i,0.355 0i,

-0.355 0i,-1.993 7)

(22)

特征值对应的特征向量的实部和虚部构成的方阵如下：

得到方程组：

(24)

式中：hi(y)(i=1,2,3,4,5)包含y1、y2、y3、y4、y5非线性部分。

根据中心流形定理，设:

(25)

代入分岔稳定性指标[9]：

(27)

解得：a=-0.000 013 25<0.故系统(13)发生亚临界Hopf分岔，出现不稳定的极限环。

3　四轮转向Hopf分岔仿真验证

利用matlab进行了数值仿真。系统时间历程设定为[0,500],参数初始值设为X=(0,0,0.6,0,0)′。

其他参数值如表1所示，当速度为U=89.56 km/h时，汽车横向位移、随体坐标系与x轴夹角前轮转向角相图如图2所示。

图2　横向位移与前轮转向角相图Fig.2 Phase diagram of the lateral displacement and front wheel steering angle

由图2可见，当汽车行驶速度处于Hopf点速度时，在初始激励下，汽车横向位移、前轮转向角振幅逐渐缩小，趋于一极值，形成一稳定的极限环。

4　结　论

本文对比例控制的4WS系统，在动力学模型的基础上，利用Hurwitz代数判据，计算Hopf分岔。利用中心流形理论将高维4WS汽车系统降到二维，并通过计算二维分岔稳定性指标的正负判定原系统Hopf分岔的类型。利用Matlab进行了数值仿真。说明计算方法及结果的正确性，对振动的控制研究具有重要的参考价值。

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Hopf bifurcation of an automobile with four-wheel steering based on center manifold theory

SONG Zuo-jun

(Department of Automotive Engineering, Zibo Vocational Institute, Zibo 255314, China)

A 2-DOF dynamic model was established for an automobile with four-wheel steering (4WS) using the method of analysis mechanics. Hopf bifurcation of this 4WS system was calculated and bifurcation points were obtained with Hurwitz algebraic criterion. The high-dimensional 4WS auto mobile system was simplitied into a two-dimensional system using the center manifold theory. The bifurcation stability index of the two-dimensional system was calculated to determine Hopf bifurcation type of the original system. The system was simulated using Matlab software. The results showed that the automatic swing of steering occurs for an automobile with 4WS under specific parameters, it has an important meaning for automobile vibration control study.

four-wheel steering (4WS); hopf bifurcation; hurwitz determinant; center manifold theory

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.035

2011年山东省科技发展计划政策引导类项目(0076)

2015-04-29修改稿收到日期：2015-06-29

宋作军 男，硕士，副教授，1966年1月生

U461

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