城市化进程中人口变化的动力学分析

叶凯莉,王秋燕 ，宋 强

(1.信阳师范学院 a.工商管理学院;b.数学与信息科学学院, 河南 信阳 464000;2.信阳职业技术学院 数学与计算机科学系， 河南 信阳 464000)

0 引言

伴随着工业化进程的推进和社会经济的发展,城市化现象越来越受到人们的关注.城市化在带动区域经济发展的同时，也引起了城市和农村人口结构的变化.而城市外来人口的增加和农村劳动力的减少对社会也造成了一定的消极影响，因此，控制城市化进程中的人口流动是必要的.

(1)

其中：x,y分别代表城市和乡村人口密度；a,b,c,d为正参数.这里假设x(0)>0,y(0)>0.显而易见，该模型有非平凡平衡点.

本文对系统(1)进行了全局性分析.利用类似于文献[5]的方法,首先给出了解的有界性，然后讨论了平衡点的存在性和稳定性.特别地，对正平衡点的动力学性质进行了系统地研究，得到了其存在性和局部渐近稳定性的条件.然后利用Bendixon-Dulac定理[6]得出了系统不存在非平凡正周期解，进而得到正平衡点是全局渐近稳定的.最后对所得结论进行了讨论和总结.

1 解的有界性

根据解的存在唯一性定理和简单的讨论可知，系统(1)的解总是存在且为正.事实上，由系统(1)，易得

这分别意味着

(2)

首先考虑系统(1)中x(t)的有界性.显然，根据解的正性，下面假设c>d.于是，有以下结论：

定理1 对于系统(1)，如果c>d，那么

(3)

证明由以上的讨论可知，存在一个T>0，使得当t>T时，y(t)<1.由系统(1)的第二个方程可知，对于t>T，有

于是，得到

这说明，对于c>d,有

通过以上讨论，可以得到下面的结论.

定理2 如果c>d,那么系统(1)是持久的.

2 平衡点分析

2.1 平衡点……

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