圆锥曲线焦点弦问题的解法探讨

马翔羽

（宁夏吴忠市回民中学 宁夏吴忠 751100）

圆锥曲线焦点弦问题的解法探讨

马翔羽

（宁夏吴忠市回民中学 宁夏吴忠 751100）

在求解圆锥曲线的焦点弦问题中，可以结合椭圆的几何定义，借助焦半径公式和代数方法进行求解，从一般问题延伸到特殊问题，将横向思考方法和纵向思考方法相结合，才能保证圆锥曲线焦点弦问题正确快速求决。

圆锥曲线；焦点弦；求解方法

在高中平面解析几何中，圆锥曲线的问题一直都是重点和难点，其中圆锥曲线的焦点弦问题涉及颇多，通常出现在解答题中，分值较重，计算过程也比较复杂，往往令学生无所适从。为了使多种累心给的圆锥曲线问题迎刃而解，必须对典型的例题进行深入剖析，挖掘问题的本质并进行适当的转化，不断提高学生思考问题的能力[1～2]。

1 典型问题分析

1.1 提出问题

1.2 问题求解

（1）方法一

（2）方法二

图1 解法二

（3）解法三

在这道题中，应用了三种常见的方法，在问题求解的过程中充分应用左焦点F和的信息，解法一的思考较为笼统，从代数方面入手，计算量较为庞大。在解法二中对圆锥曲线的定义进行联想，从几何角度进行入手分析，应用数形结合的方法，简化了问题的求解。在解法三中应用更巧的方法，连线极坐标系下圆锥曲线的统一定义，借助斜率角θ的几何意义进行求解，使问题得到简化[3]。

2 焦点弦公式的推导应用

高中数学直线与圆锥曲线教学的过程中，一直都将求解焦点弦长度的问题作为重点。在求解这类问题的过程中，如果应用传统的代数解法可能导致计算量庞大，字母运算也十分复杂，因此可以充分借助数形结合的方法[4]。

设圆锥曲线的离心率为e，焦点为F，弦AB经过F，斜率为k，且，求证

如图2所示，F为圆锥曲线的焦点，l为圆锥曲线的准线，从A、B两点向l作垂线，垂足分别为D、C。焦点弦AB的倾斜角为α，过点B作AD的垂线与AD或者DA的延长线于点E，则△AEB为Rt△。

图2

3 结束语

圆锥曲线的学习过程中，需要把握几何曲线的基本定义，再将代数和几何的方法结合起来，找出求解焦点弦问题的规律，便于在类似问题中触类旁通，在题解中找出变化，将多种问题联系起来，提高解题效率。

[1]邱昌银.圆锥曲线的准线切线焦点弦的相关性[J].数学通报，2013，26（11）：32.

[2]廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质[J].数学通报，2003，15（4）：35.

[3]黄加流.圆锥曲线平行焦点弦性质探究[J].数学教学通讯，2013，59（33）：159.

[4]徐 琴.圆锥曲线中离心率e，焦点弦的比λ和弦所在直线的倾斜角α的关系及其应用[J].语数外学习（数学教育），2013，22（10）：691.

G633.6

A

1004-7344（2016）05-0036-02

2016-2-2

马翔羽（1980－），女，中教二级，本科，主要从事高中数学教学工作。