卷积定理与傅里叶变换性质及其应用的关系探讨

黄金平,张正炳

(长江大学电子信息学院，湖北 荆州 434023)



卷积定理与傅里叶变换性质及其应用的关系探讨

黄金平,张正炳

(长江大学电子信息学院，湖北 荆州 434023)

为解决学生学习傅里叶变换这部分内容感觉困难的问题，深入研究了傅里叶变换性质之间的内在联系。傅里叶变换的时移性质、时域微分性质、时域积分性质、频移性质、频域微分性质等许多性质只是时域卷积定理和频域卷积定理的特例，而傅里叶变换的独立性质只有线性性质、尺度性质、对偶性质和卷积定理。这一发现对傅里叶变换一章的教学具有重要参考价值，结合傅里叶变换性质内在联系的新教学方案将使得学生学习傅里叶变换的内容不仅易于理解，而且条理清晰，便于记忆，从而解决“傅里叶变换难”的问题。

卷积定理；傅里叶变换；性质；应用

在教学与教研活动中，笔者发现傅里叶变换的性质并非如现存各版本的《信号与系统》[1,2]教材上所编写的看似彼此孤立，而是有着严密数学联系的统一、有机整体。在傅里叶变换的众多性质中，卷积定理有着特别的作用：透过卷积定理不仅能揭示这些性质之间的相互关系，而且可以推导出傅里叶变换在电子技术中的诸多重要应用。为此，笔者试着从卷积定理出发，探讨卷积定理与傅里叶变换性质以及傅里叶变换的几个典型应用之间的关系。

1　卷积定理

卷积定理包括时域卷积定理和频域卷积定理。

定理1(时域卷积定理)若f1(t)⟺F1(jω)，f2(t)⟺F1(jω)，则f1(t)与f2(t)的卷积f1(t)*f2(t)的傅里叶变换为F1(jω)F2(jω)。……