Duffing振子检测微弱正弦信号的新方法

彭祖亚代登敏范 玫1.华中师范大学数学与统计学学院；.四川省雅安市雅安中学彭祖亚（199-）女，汉族，四川省达州人，四川省雅安市雅安中学数学教师，华中师范大学在读教育硕士，本科，专业方向：数学与应用数学，语言：英语六级，职称：中学二级；代登敏（199-）女，汉族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中学数学教师，东北师范大学在读教育硕士，本科，专业方向：数学与应用数学，语言：英语四级，职称：中学二级；范玫（1989-）女，汉族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中学数学教师，西华师范大学理学硕士，范玫，年龄：7，性别：女，最高学历：硕士，专业方向：数学与应用数学，语言：英语四级，职称：中学二级。



Duffing振子检测微弱正弦信号的新方法

彭祖亚1，2代登敏2范 玫2
1.华中师范大学数学与统计学学院；2.四川省雅安市雅安中学
彭祖亚（1992-）女，汉族，四川省达州人，四川省雅安市雅安中学数学教师，华中师范大学在读教育硕士，本科，专业方向：数学与应用数学，语言：英语六级，职称：中学二级；代登敏（1992-）女，汉族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中学数学教师，东北师范大学在读教育硕士，本科，专业方向：数学与应用数学，语言：英语四级，职称：中学二级；范玫（1989-）女，汉族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中学数学教师，西华师范大学理学硕士，范玫，年龄：27，性别：女，最高学历：硕士，专业方向：数学与应用数学，语言：英语四级，职称：中学二级。

本文针对Duffing振子检测微弱正弦信号时，振子系统相变判别困难、计算机难以自动识别的难题，提出一种简单、利于计算机实现的相变判别方法，并在此基础上提出一种基于Duffing振子检测微弱正弦信号的新方法。在微弱信号检测行业起到一定的借鉴作用。

如付诸现实将有利于微弱信号检测的发展，在自动化、通信、机械工程等领域均能产生较好的经济效益。

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针对Duffing振子检测微弱正弦信号时，振子系统相变判别困难、计算机难以自动识别的难题，提出一种简单、利于计算机实现的相变判别方法，并根据逆向相变（由大周期状态跃迁到混沌状态）和振子阵列的原理提出一种基于Duffing振子检测微弱正弦信号的新方法，仿真分析表明，该方法对系统相变的判别准确，对微弱正弦信号检测能力强，具有工程应用潜力。

微弱正弦信号检测在信号检测领域具有重要地位，在自动化、通信、机械工程等许多研究领域，常常需要判断微弱正弦信号是否发生，而在环境噪声较大的情况下，微弱正弦信号通常淹没在噪声中，传统的线性滤波方法无法有效检测出微弱正弦信号。

Duffing振子作为目前微弱信号检测领域的研究热点之一，其具有对微弱正弦信号极其敏感而对噪声有较强免疫能力的特性，相比常规方法的信噪比门限只达到-10dB，Duffing振子能够检测到信噪比达-111.46dB的微弱正弦信号，其对微弱正弦信号的检测具有广阔的前景。

Duffing振子是根据输入待检测信号后系统是否发生相变判断微弱正弦信号是否存在，确定系统发生相变的方法主要有李亚普诺夫指数法、分维数法、分形理论分析法等数值分析方法和相轨迹直接观察法，相比数值分析方法复杂、计算量大，相轨迹直接观察法较为常用且相对简单，但不利于计算机的自动判别。

为此，本文根据Duffing振子相轨迹演化规律提出一种有利于计算机自动判别的Duffing振子相变判别方法，在此基础上提出一种基于Duffing振子检测微弱正弦信号的新方法，并通过数值仿真分析验证了该方法的可行性和正确性。

Duffing振子检测微弱正弦信号原理

Duffing振子是一种典型的混沌系统，其方程为：

图1 混沌状态与大周期状态相轨迹图

图2 相位角示意图

Duffing振子对正弦形式的策动力异常敏感，随策动力幅值F的增加表现出不同的运动学特性。当策动力幅值F小于阈值Fk时，振子处于混沌状态，相轨迹局限在一定范围内，并在焦点（±1，0）和鞍点（0，0）之间来回跃迁振荡；略微增大幅值F使之大于或等于Fk，则振子跃迁到大周期状态，相轨迹在外轨道上稳定运动。混沌状态和大周期状态相轨迹分别如图1（a）、图1（b）所示。

目前，Duffing振子检测微弱信号主要是基于系统相变判断待检测信号中有无微弱正弦信号，包括正向相变（从混沌状态跃迁到大周期状态）和逆向相变（从大周期状态跃迁到混沌状态）两种检测方法。根据文献的研究，相比正向相变，逆向相变对微弱正弦信号具有更为稳健的敏感性。逆向相变检测微弱信号方法如下：首先设置策动力幅值为Fk，使振子进入大周期状态；然后将待检测信号加入振子策动力项，若待检测信号中有微弱正弦信号，且其相位与策动力相位满足一定关系，使得叠加后的策动力幅值小于Fk，则振子逆向跃迁到混沌状态，根据加入待检测信号后振子是否发生相变判断待检测信号中有无微弱正弦信号。

系统相变判别方法

相变的准确判别是微弱正弦信号检测的关键，利用相轨迹变化判别相变的方法形象直观，但不利于计算机自动判别，本文提出一种基于相位角周期的相变判别方法。

以相图鞍点O（0，0）为坐标原点建立直角坐标系，取相轨迹上的任意点A，定义鞍点O与点A的连线OA与横坐标轴正方向夹角为相位角θ，则相位角，相位角示意图如图2所示。由于相轨迹上任意点都有与之对应的相位角，相位角与相轨迹同步演化，因此可以利用相位角定量描述相轨迹。

如图2所示，在演化过程中，相轨迹每穿过一次坐标轴θ=π（或θ= -π），相位角发生一次跳跃，定义相邻两次跳跃之间的时间一个周期。大周期状态下，振子主要受策动力频率影响，相轨迹围绕鞍点演化的周期与策动力周期相等。由于相位角与相轨迹具有同步演化的特点，因此，大周期状态下相位角周期与策动力周期相等。而混沌状态下，振子主要受非线性振子的本征频率影响，相轨迹演化的周期不稳定，相位角周期不等于策动力周期。因此，相位角周期可以作为相变的判别依据。

图3 微弱正弦信号检测流程图

检测方法

在实际应用中，待检测信号中的微弱正弦信号相位是未知的，单一振子的策动力相位与微弱正弦信号相位可能不满足相变的条件，因此采用振子阵列的方法进行微弱正弦信号检测，振子阵列模型为：

式中：i=0，1，2•••N；N为角度平分数，一般N≥3

基于上述研究，本文提出一种基于Duffing振子的微弱正弦信号检测方法，步骤如下：（1）调整策动力幅值为Fk，使振子阵列进入大周期状态；（2）在策动力项中加入采集的待检测信号，并计算阵列中各振子演化过程中相位角周期T。若存在振子相位角周期T不等于策动力周期T0，则检测到微弱正弦信号；若所有振子相位角周期T均与策动力周期T0相等，则继续搜索微弱正弦信号。微弱正弦信号检测流程如图3所示。

检测方法性能仿真分析

应用MATLAB的Simulink模块对该检测方法的性能进行仿真分析。设定k=0.4，ω=2πrad/s（即系统策动力周期为0.4s），仿真开始时刻在策动力项中输入功率为0.001w的高斯白噪声，调节策动力幅值使系统进入大周期状态。在t=4s时刻分别在策动力项中输入幅值为0.01、0.001、0.0001及0.00001的微弱正弦信号，为简化仿真分析，设定各微弱正弦信号相位与策动力相位满足相变的条件。各系统对应的相位角周期演化曲线如图4所示，图中第11个周期为输入待检测信号后的第1个周期。

从图4中可以看出，输入微弱正弦信号前，相位角周期均稳定为0.4s，等于策动力周期，振子均处于大周期状态；输入微弱正弦信号后，相位角周期均发生了改变而不等于策动力周期，振子均跃迁到了混沌状态，即上述不同幅值的微弱正弦信号均能被检测到，但相位角周期开始改变的时间相对于微弱正弦信号输入的时间有一定延迟。

上述不同幅值的微弱正弦信号数值仿真统计如表1所示，其中信噪比，延迟周期数为从输入微弱正弦信号到检测到相位角周期发生改变所历经的周期数。

表1 不同幅值微弱正弦信号仿真分析统计表

图4 相位角周期演化曲线

从表1中可以看出，当信噪比为-73dB时，仍然能够检测到微弱正弦信号，说明此方法对系统相变的判别准确，对微弱正弦信号检测能力强；但随着信噪比降低，微弱正弦信号检测延迟的周期数增多，究其原因，这是由于Duffing振子系统在输入外加摄动信号后，需要一定的时间进行演化才能表现出相变，而外加摄动信号越微弱，相变所需要的时间越长。

结语

（1）Duffing振子在大周期状态时相位角周期等于策动力周期，在混沌状态时相位角周期不等于策动力周期，相位角周期可以作为相变判别的依据。而利用相位角周期的变化作为相变判别的依据，使得相变的判别从主观判别变成定量判别，利于计算机实现；

（2）提出一种基于Duffing振子检测微弱正弦信号的新方法，仿真分析表明，该方法对系统相变的判别准确，对微弱正弦信号检测能力强。因此，该方法具有工程应用潜力。

10.3969/j.issn.101- 8972.2016.12.037