面波衰减处理中小波函数的选择方法

杨顺辽，桂志先，张正炳



面波衰减处理中小波函数的选择方法

杨顺辽a，桂志先b，张正炳a

（长江大学a.电子信息学院，湖北荆州434023；b.地球物理与石油资源学院，武汉430100）

在讨论小波域面波衰减处理原理的基础上，总结出了在面波衰减处理中小波分解结果应具有良好分离性的要求，根据支集长度决定局部化特性，消失矩决定低频低波数分量的能量集中程度，分析出在面波衰减处理中应选取短支集长度、高消失矩及具有对称性的小波函数的原则，得出了Symmlet小波函数是最优小波的结论。并通过对实际地震资料和人工合成地震记录面波衰减处理结果中面波衰减程度以及对反射波影响程度的分析，验证了所提出的小波函数选取方法的正确性。

小波函数；面波衰减；支集长度；消失矩；地震资料

面波的存在给地震资料解释带来了较大困难，因此，解释人员寻求各种方法使面波衰减。面波在时间上和频率上都与有效反射波存在重叠，在衰减面波时如何避免有效反射波衰减，是面波衰减处理中需要解决的重要问题。

利用二维小波分解可以将地震资料同时转换到时间域、空间域、频率域和波数域中，使面波衰减处理具有较好效果［1-2］。小波函数种类繁多，如db20小波函数［2］、Morlet小波函数［3］、sym5小波函数［4-5］、bior2.4小波函数［6］等，应用这些小波函数进行面波衰减处理，均得到了较理想的效果。然而在这些面波衰减处理中，没有总结选取小波函数的原则，也没给出采用不同小波函数进行面波衰减所得处理结果的对比分析。虽然文献［7］介绍了地震资料去噪的最优小波函数选取方法，但在面波衰减处理中，未涉及选取小波函数方法的总结分析。

本文介绍了二维小波分解的基本原理，分析了面波衰减处理中对小波分解结果的要求，并根据小波函数的支集长度、消失矩与小波分解结果之间的关系，总结出在小波域进行面波衰减时应选用短支集长度、高消失矩、具有对称性的小波函数的选择原则，并通过对实际地震资料和人工合成地震记录面波衰减处理结果的分析，验证了文中所提出的选取小波函数方法的正确性。

1　方法原理

1.1二维小波分解基本理论

将平方可积（能量有限空间）函数ψ（x）进行伸缩或平移后可得到连续小波函数［8］

其中，尺度因子a表示与频率相关的伸缩；平移因子τ表示小波函数的平移［8］。随着a的增大，函数ψa，τ（x）的时间窗口逐渐增大，对应的频率域窗口逐渐减小，中心频率逐渐降低。

如果取a=2j，τ=2jk，其中j∈Z，k∈Z，则可得到一维离散小波函数［8］

同样可以构造尺度函数［8］

将上述一维小波函数进行推广，可得到二维小波函数，若n取值（n1，n2），由此可定义二维可分离尺度函数）和二维可分离小波函数

根据尺度函数和小波函数的可分离特性，则有［9］

这3个小波函数可在不同尺度和不同方向提取二维数据的有关频率特性。（6）式提取水平低频分量和垂直高频分量；（7）式提取水平高频分量和垂直低频分量；（8）式则提取水平高频分量和垂直高频分量。

若h（x）和g（x）分别为与φj，k（x）和ψj，k（x）对应的镜像滤波器函数，则二维小波分解可表示为［9］

1.2小波函数的主要特性

小波分解的优点在于具有时间域—频率域双重良好的局部性和随尺度变化的自动调焦功能。人们希望通过小波分解，得到的各子带数据间的相关性尽可能小、能量集中程度尽量高，而且为了避免非线性相移导致失真，小波函数主要应具有以下特性［9］。

（1）紧支性如果一个函数仅在有限区间内不为0，而在此区间外恒为0，则称此函数在这个区间上紧支［10］，区间长度为函数的支集长度。小波函数支集长度越短，小波函数就衰减越快，空间局部化特性越好，精度越高，且小波变换的计算量越小。一个函数不可能在时间域和频率域都是紧支的，一般希望小波函数能够在时间域上具有短的支集长度。

（2）对称性对称的小波函数和尺度函数决定了小波分解时具有线性相位特性，信号处理中可避免非线性相移导致的失真。

（3）消失矩小波函数ψj，k（x）的矩定义为如果满足

则称小波函数ψj，k（x）的消失矩为N［11］.消失矩决定了小波变换后能量集中于低频分量的程度，消失矩越大，能量集中程度越高。

1.3常用小波函数的特点

文献［12］证明仅有Haar小波函数是具有严格的线性相位特性的紧支小波函数，1阶Daubechies小波函数即为Haar小波函数，而Daubechies小波函数的高阶形式没有明确的表达式，但是Daubechies小波函数的模平方函数||H（ω）2具有明确的表达式［13］

Symmlet小波函数是对Daubechies小波函数的改进，Symmlet小波函数的模平方函数与Daubechies小波函数相同，但在构造Symmlet小波函数时使其具有线性相位特性，因而具有较好的对称性。Symmlet小波函数的支集长度和消失矩与Daubechies小波函数相当，但其对称性比Daubechies小波函数好。

双正交的Biorthogonal小波函数在分解和重构时所采用的小波函数是不同的，Biorthogonal小波函数的支集长度、消失矩和对称性取决于所采用的小波函数，根据不同的小波函数可以构造出紧支、对称或反对称的平滑双正交小波函数。

Coiflets小波函数的尺度函数φj，k（x）满足［13］

其中，N为Coiflets小波函数的阶，消失矩为2N，支集长度为6N-1.Coiflets小波函数比Daubechies小波函数具有更好的对称性。

1.4面波衰减处理中小波函数的选取方法

小波函数的选择应该从一般原则和具体应用两个方面考虑［15］。在面波衰减处理中，通过二维小波分解可将地震资料分解为低频低波数、低频高波数、高频低波数和高频高波数4个分量，分别对应（9）式中的Aj+1，面波具有低频高波数的特点，为了降低面波衰减处理中有效反射波的衰减，小波分解结果应该满足3个条件：①低频高波数分量中面波的能量应尽可能大；②低频高波数分量中有效反射波的能量尽可能小；③在小波分解和重构过程中失真尽可能小。

在上述条件中，条件①要求小波分解后局部化特性好，即小波函数要有较短的支集长度。条件②要求反射波的能量在低频低波数分量的集中程度高，即小波函数要有较高的消失矩。但是这两个要求是互相矛盾的，即支集长度越小消失矩也就越小，两者不可兼得，因此要在两者之间折中进行选择。条件③要求小波函数具有对称性，即具有线性相位特性。

根据上述要求和常用小波函数的特点可知：Symmlet小波函数具有较好的对称性，支集长度和消失矩与Daubechies小波函数相当，因此在面波衰减处理中采用Symmlet小波函数对反射波衰减较小。

2　实际地震资料验证分析

为了验证本文选取小波函数方法的正确性，对实测单炮地震记录采用不同小波函数分解并进行面波衰减处理，地震记录共256道，每道采样点数为1 024.分别用db20，sym10，sym5，sym2，bior2.4和coif2等小波函数进行面波衰减处理，除了所选取的小波函数不同外，小波分解级数和所高通滤波器完全相同。

本文面波衰减处理先对实测单炮地震记录进行逐级小波分解，然后对低频高波数分量进行高通滤波处理，最后再逐级重构。在面波衰减处理中，在保证面波衰减的前提下，希望尽可能降低对有效反射波的衰减。为了反映面波衰减处理对有效反射波所造成的影响，将原始地震记录与面波衰减处理得到的地震记录进行差值运算，差值运算所得记录中主要包含了面波成分（图1），其中包含的有效反射波振幅越低，表明面波衰减处理对有效反射波的影响越小。图1表明，采用db20，sym10和sym5小波函数进行面波衰减处理时对有效反射波的衰减比采用sym2，bior2.4和coif2小波函数进行面波衰减处理时的小（图1d—图1f中红圈区域内有效反射波振幅较大）。

图1　采用不同小波函数进行面波衰减处理后得到的面波

图2　采用不同小波函数对第140道地震记录进行面波衰减处理前后频谱对比

对第140道原始地震记录与面波衰减处理得到的地震记录做频谱分析（图2）。面波具有低频强振幅特征，因此在衰减面波处理时对高频部分的有效反射波影响要尽可能小。由图2可知，采用小波分解后低频部分（小于10 Hz）的强振幅面波均被衰减，但采用db20，sym10和sym5小波函数进行面波衰减处理时，对与面波同频带的有效反射波影响相对于采用sym2，bior2.4和coif2小波函数要小，与图1的结论一致；高频部分（大于10 Hz）的有效反射波振幅基本无变化，表明采用小波分解来衰减面波对地震资料具有较高的保真保幅性。

为了检验面波衰减处理时对含面波区域的有效反射波的影响，通过人工分离方式将原始地震记录分为面波部分S和有效反射波部分R［4］，采用不同小波函数进行面波衰减处理可分离出面波区域S'（图1所示高振幅区域）和有效反射波区域R'（面波衰减处理得到的地震记录的有效反射波区域），然后计算有效反射波区域的振幅和原始地震记录中有效反射波的振幅的平均绝对误差ER

ER越小，面波衰减处理对有效反射波的衰减越小。

同理，可计算出面波区域的振幅和原始地震记录中面波的振幅的平均绝对误差E

ES越小，面波衰减处理效果越好。

采用常用的Daubechies小波函数、Symmlet小波函数、Biorthogonal小波函数和Coiflets小波函数进行面波衰减处理后分别计算有效反射波区域和面波区域的振幅平均绝对误差ER和ES，并统计耗用时间、小波的支集长度和消失矩（表1），可以得出4个结论：①对于同一类型的小波函数，消失矩越大，有效反射波区域振幅的平均绝对误差越小，即面波衰减处理对有效反射波的影响越小；②消失矩相同时，采用不同小波函数进行面波衰减处理所耗用时间随着支集长度的增加而增加；③面波区域振幅的平均绝对误差与小波函数的类型关系不大，平均绝对误差较大，与人工切分出的面波区域中包含有效反射波有关；④消失矩相同时，采用Symmlet小波函数进行面波衰减处理的有效反射波区域振幅平均绝对误差较小，优于Daubechies小波函数和Coiflets小波函数，其中sym5小波函数的有效反射波区域振幅平均绝对误差比db8小波函数的还小。

表1　采用不同小波函数对实际地震资料进行面波衰减处理的有关参数比较

上述结论验证了在面波衰减处理中小波函数应具有短支集长度、高消失矩及对称性的分析结果，Symmlet小波函数用于面波衰减时面波衰减较彻底、对反射波影响较小。综合考虑耗用时间和有效反射波区域振幅平均绝对误差ER的大小，sym5小波函数比较适用于面波衰减处理。

由于实际地震资料中有噪声，并且人工分离出的面波区域包含部分有效反射波，而有效反射波区域也可能有面波存在，对计算出的有效反射波区域振幅的平均绝对误差ER和面波区域振幅的平均绝对误差ES产生影响。下面通过人工合成地震记录［16］来验证文中所提出的选取小波函数方法。在人工合成地震记录中模拟了三个反射层面，共128道记录，每道采样点数为512，记录中没有加入任何噪声。并采用与前述实际地震资料相同的小波分解面波衰减处理方法，得到有效反射波区域和面波区域，按（14）式和（15）式计算出有效反射波区域振幅平均绝对误差ER和面波区域振幅平均绝对误差ES（表2）。

表2　采用不同小波函数对合成地震记录进行面波衰减处理有关参数比较

表2的规律与表1的基本一致，即消失矩相同时，采用Symmlet小波函数进行面波衰减处理的振幅平均绝对误差小于其他类型的小波函数。在表2中，有效反射波区域振幅平均绝对误差和面波区域振幅平均绝对误差相等，这是在没有噪声影响且面波和有效反射波完全分离的理想情况下的结果。

3　结论

在用小波函数对信号进行处理时，要根据小波函数的特性和实际应用特点来选取小波函数。在基于二维小波分解的面波衰减处理中，要求小波函数具有较小的支集长度、较大的消失矩和良好的对称性。支集长度越小，面波衰减处理效率越高；消失矩越大，面波衰减处理过程中对有效反射波的影响就越小。消失矩相同时，Symmlet小波函数对有效反射波影响小。综合考虑面波衰减程度、对有效反射波影响大小及处理所耗用时间等因素，sym5小波函数比较适用于地震资料的面波衰减处理。

符号注释

a——尺度因子；

Aj+1——第j+1次分解的低频分量；

ER，ES——有效反射波区域和面波区域振幅平均绝对误差；

g（x）——小波函数ψj，k（x）对应的镜像滤波器函数；

h（x）——尺度函数φj，k（x）对应的镜像滤波器函数；

I——总道数；

i——道号；

j，k，m，n——整数；

R（i，t），R（'i，t）——有效反射波区域（i，t）点振幅值；

S（i，t），S（'i，t）——面波区域（i，t）点振幅值；

T——每道采样点数；

t——采样点序号；

ω——频率，rad/s；

τ——平移因子；

ψa（，τx）——平方可积函数；

ψj（，kx）——一维离散小波函数；

ψk

j，n（x，y）——二维可分离小波函数；

φj（，kx）——一维离散尺度函数；

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（编辑潘晓慧杨新玲）

Method for Wavelet Function Selection During Surface-Wave Attenuation Processing

YANG Shunliaoa，GUI Zhixianb，ZHANG Zhengbinga
（Yangtze University，a.School of Electronics and Information，Jingzhou，Hubei 434023，China；b.School of Geophysics and Petroleum Resources，Wuhan，Hubei 430100，China）

Based on the discussions on the principles of surface wave attenuation processing in wavelet domain，it is concluded that good separability of wavelet decomposition result is needed during surface wave attenuation processing.Because support length decides local features and vanishing moment decides the energy concentration degree of low-frequency and low-wave-number components，a symmetrical wavelet function principle that short support length and high vanishing moment should be chosen is determined，and Symmlet wavelet function is considered as the optimal wavelet.Surface-wave attenuation degree and influence of reflection wave are analyzed regarding surfacewave attenuation processing results obtained from actual seismic data and synthetic seismogram，which validates the method for wavelet function selection.

wavelet function；surface wave attenuation；support length；vanishing moment；seismic data

P631.443

A

1001-3873（2016）04-0469-05

10.7657/XJPG20160416

2016-01-26

2016-05-30

杨顺辽（1973-），男，湖北利川人，副教授，地球物理勘探，（Tel）1379738622（E-mail）85771688@qq.com