矩阵方程AX+XB=C对称解的可信算法

刘畔畔，李梓毓，李庆春，桑海风，崔　莹

（1.北华大学数学与统计学院，吉林吉林　132013；2.上海海事大学经济管理学院，上海　201306）

矩阵方程AX+XB=C对称解的可信算法

刘畔畔1，李梓毓2，李庆春1，桑海风1，崔莹1

（1.北华大学数学与统计学院，吉林吉林132013；2.上海海事大学经济管理学院，上海201306）

利用区间运算的相关理论，给出了计算矩阵方程AX+XB=C近似对称解及其可信误差界的算法，由此算法得到的误差界范围内必定存在一个精确对称解.

可信误差界；区间运算；Sylvester矩阵方程；对称解

【引用格式】刘畔畔，李梓毓，李庆春，等.矩阵方程AX+XB=C对称解的可信算法［J］.北华大学学报（自然科学版），2016，17（3）:301-304.

1　引　言

在生物数学、力学、物理学和控制论等领域中，许多问题都归结为计算Sylvester矩阵方程

对称解的问题.本文研究关于计算此矩阵方程的近似对称解X的可信误差界的方法，其中A，B和C均为n ×n阶实矩阵.

1980年，Rump［1］提出了标准的可信验证方法，讨论了如何利用浮点运算实现一个严格的数值结果，也就是说，确定一个近似解的误差界，在误差界内存在一个精确解.研究可信验证问题具有重要的理论意义和较高的实用价值［2］.本文的目的是获得方程（1）近似对称解的误差界，给出一个可信验证算法.

矩阵方程（1）可以改写成如下形式

其中，P=In⊗A+BT⊗In，x=vec（X），c=vec（C），这里⊗表示Kronecker积，vec表示拉直算子.

利用verifyless函数验证线性方程（2）的解，可得到可信区间向量x，最终得到方程（1）的可信区间矩阵X.但计算量非常大，对此我们给出下面算法，降低验证时间，提高计算效率.

2　主要结果

本文引入下列记号:Iℝn，Iℝn×n分别表示n维实区间向量集合和n阶实区间矩阵集合；tr（A）表示矩阵A的迹，A表示矩阵A的Frobenius范数.黑体字母表示区间向量或区间矩阵.

在INTLAB［3］中，intval函数可将数值类型变成区间类型.设区间则表示区间表示区间

设A和B可对角化，且有如下的谱分解:

则

令

则可把线性方程（2）改写为Qy=f.因不能通过数值计算得到W1和V2的精确逆所以利用区间算法获得区间矩阵W1和V2，使得记

引理1［4］设A，B，C是可乘的区间矩阵，那么

引理2［5］设Z∈Iℝn是凸的和紧的，并且内部非空，假设

那么矩阵A非奇异，存在一个向量x*∈ ˜x+Z，使得Ax*=b，其中int（Z）表示Z的内部.

其中，D∈ℝn×n，vec（D）=diag（Δ）.如果U⊂int（Z），那么Qy=f有唯一解

由引理1有

因为

其中W1AW-11∈S1，V-12BV2∈S2，我们得到

用-vec（T）与Δ-1做乘法运算，考虑Δ-1的乘法和D的逐点除法的等价性，得到

推论1令V=W1U V2，若U⊆int（Z），则存在唯一矩阵满足

实现线性方程组解的可信验证函数是INTLAB中的verifylss函数［3］.

引理3［1］给定区间矩阵A∈Iℝn×n和区间向量b∈Iℝn，若函数verifylss运行成功，则该函数计算得到的区间向量x⊂Iℝn，满足Σ（A，b）=｛x∈ℝn:Ax=b，A∈A，b∈b｝∈x.

利用周海林［6］求解矩阵方程对称解的方法以及推论1和引理3，取定数值容差ε、最大迭代次数N、随机对称矩阵X1，设计算法如下:

算法1

步1计算

步3计算

转步2.

步4如果A和B可对角化，那么进行谱分解:A=V1D1W1，B=V2D2W2，否则，返回“失败”，算法终止.

步5记

步6由verifylss计算区间矩阵W1，W2，使得W1∈W1，V2∈W2.

步7利用intval函数计算T=W1·V2的区间矩阵T.

步8计算区间矩阵S1=（W1A）W1，S2=W2（BV2），U=-T./D.

步9令iter=0.

1）如果iter≤15，则执行下面的步骤，否则“失败”.

2）令iter=iter+1，设

3）计算M=（D1-S1）Z，N=Z（D2-S2），U=（-T+M+N）./D.

3　数值算例

例1给定矩阵A，B，C如下

［1］Rump SM.Kleine Fehlerschranken beimatrix problemen［D］.Karlsruhe:Universitat Karlsruhe，1980.

［2］Essex C，Davison M，Schulzky C.Numericalmonsters［J］.ACM SIGSAM Bulletin，2000，34（4）:16-32.

［3］Rump SM.INTLAB-interval laboratory//developments in reliable computing［M］.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers，1999:77-104.

［4］Frommer A，Hashemi B.Verified computation of square roots of amatrix［J］.SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，2010，31（3）:1279-1302.

［5］Frommer A，Hashemi B.Verified error bounds for solutions of Sylvester matrix equations［J］.Linear Algebra and Its Applications，2012，436（2）:405-420.

［6］周海林.矩阵方程AXB+CXD=F对称解的迭代算法［J］.计算数学，2010，32（4）:414-422.

【责任编辑：伍林】

Verified Algorithm for a Symmetric Solution of Matrix Equation AX+XB=C

Liu Panpan1，Liu Ziyu2，Li Qingchun1，Sang Haifeng1，Cui Ying1
（ 1.Mathematics and Statistics School of Beihua University，Jilin 132013，China； 2.College of Economics and Management，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China）

Using the interval arithmetic theory，an algorithm for computing an approximate symmetric solution and its verified error bound of matrix equation AX+XB = C is presented，and there must be an exact solution in the error bounds obtained by this algorithm.

verified error bound； interval arithmetic； Sylvester matrix equation； symmetric solution

O242.29

A

1009-4822（2016）03-0301-04

10.11713/j.issn.1009-4822.2016.03.004

2016-02-10

国家自然科学基金项目（11171133）；吉林省教育厅科学技术研究项目（2015131；2015156）.

刘畔畔（1983-），女，博士，讲师，主要从事计算机代数与数值计算研究，E-mail:liu-pan-pan@163.com；通信作者:李庆春（1959-），男，博士，教授，硕士生导师，主要从事矩阵理论与数值计算研究，E-mail:liqingchun01@163.com.