联系图形，巧解数学题

姜红

联系图形，巧解数学题

姜红

七年级下学期第九章，同学们学习了《整式乘法与因式分解》，在学习完全平方公式时，我们用了以下图形进行验证，用图1的两个正方形和两个长方形拼成图2的大正方形，再算其面积.

图1

图2

比较二者可得，完全平方公式：（a+b）2= a2+2ab+b2.

在学习因式分解时，我们也用到了类似的方法.

看下面的问题：

如图3，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形4，请借助此图，验证平方差公式.

图3

图4

比较二者可得，平方差公式：a2-b2=（a+ b）（a-b）.

以上解决问题的思想方法，叫作“数形结合”.

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.初中数学研究的对象大致可分为数和形两大部分.数与形是有联系的，这个联系就称之为数形结合.

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.

其实，数形结合的思想方法，我们上学期就接触到的.比如，在学习“绝对值”的概念时，我们说：数轴上，表示数a的点到原点

同学们仔细观察，可以发现这两题是同一类型.我们以第一题为例来探讨其解法.

方法一：依据绝对值的化简方法.即：

故此，我们需要，逐一判断每个绝对值符号内部的代数式的符号，找到它们的零点x=1、x=3，再分类讨论，加以解决.解法如下：