“二元一次方程组”中考试题研究

姜红

“二元一次方程组”中考试题研究

姜红

像2x-y=5这样，含有两个未知数，并且未知项的次数都为1次，那么这样的整式方程就叫作二元一次方程.二元一次方程有无数组解，若添加条件限定（例如求正整数解），亦可有有限个解，甚至无解.

一、二元一次方程组的解法

【点评】多元方程的解法原则是“消元”.而“消元”的具体方法有代入法和加减法两种.

有时，试题也会涉及“整体代换”等思想方法，比如：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即

2（2x+5y）+y=5③，

把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=-1.

把y=-1代入①得x=4.

请你解决以下问题：

【解析】第（1）题模仿小军的“整体代换”法，把方程②变形为：

【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代换”方法，是解本题的关键.

二、二元一次方程组的应用

例4（2015·北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何？”

译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为__________.

【点评】这类问题中两个量呈一次关系，往往可以抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系.

例5（2015·佛山）某景点的门票价格如表：

购票人数/人　1～50　51～100　100以上每人门票价/元　12　10　8

某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元.