一类具有免疫反应的传染病模型的稳定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(山西大同大学 数学与计算机科学学院, 山西 大同 037009)



一类具有免疫反应的传染病模型的稳定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(山西大同大学 数学与计算机科学学院, 山西 大同 037009)

建立了具有Holling II感染率且考虑免疫反应的动力学模型，讨论了系统解的非负性和有界性，最后通过构造适当的Lyapunov函数，应用LaSalle不变原理，证明了无病平衡点是全局渐近稳定的.

病毒感染；全局稳定性；免疫反应；李雅普诺夫函数

0　引　言

目前，传染病仍然是人类身体健康的一大公敌，因为一些传染病传播速度之快，直接影响到人类的生存和发展.因此，建立传染病模型，研究其发病原因，流行规律，尤其是找寻相应的防治措施和预防策略，已然成为当今世界迫切解决的一个重大问题.国内外诸多学者在这方面也做了大量的研究(见文献[1-4]).为了描述易感染细胞，感染细胞以及病毒颗粒之间的关系，早在1996年，学者就建立了基本的病毒动力学模型(见文献[1]).

然而考虑到病毒产生时存在时滞，并且对于细胞的感染率多考虑的是双线性函数，因此，文献[2]建立了如下的时滞动力学模型：

(1)

然而要为病毒感染提供更精确的模型，免疫反应必须被考虑.本文在模型(1)的启发下，建立了考虑CTL免疫作用的动力学模型，如下：

(2)

1　基本性质

假设系统(2)的初值为

x0=x(0)>0，y0=y(0)≥0，v0=v(0)≥0，z0=z(0)≥0.

根据泛函微分方程的基本理论，在上述初始条件下，系统(2)的所有解都是非负的，且是有界的.即有如下的结论：

定理1在上述初始条件下，系统(2)的所有解都是非负的，并且一致有界，即存在M>0使得x(t)

证明由系统(2)的每一个方程得：

显然x(t)>0，z(t)≥0.若y(t)>0，则有v(t)>0成立.下面证明y(t)>0.

2　无病平衡点的稳定性分析

证明构造Lyapunov函数如下:

结合系统(2)有：

3　结　论

本文讨论了一类具有免疫反应的Holling II动力学模型，给出了在给定的初始条件下，模型解的非负性和有界性.最后利用Lyapunov函数方法，应用LaSalle不变原理，证明了当基本再生数R0<1时，无病平衡点全局渐近稳定.

[1]Nowak M A, Bonhoeffer S, Hill A M, et al.Viral dynamics in hepatitis B virus infection [J].Proceedings of the National academy of Sciences of the United States of America, 1996, 93(9):4398-4402.

[2]郑重武，张凤琴.一类具有感染时滞的HIV模型的稳定性分析[J].数学的实践与认识, 2010,40(13):247-252.

[3]Elaiw AM and Azoz SA.Global properties of a class of HIV infection models with Beddington-DeAngelis functional response[J].Mathematical Metheods in the Applied Sciences,2013,36(4):779-794.

[4]Korobeinikov A.Global properties of basic virus dynamics models[J].Bulletin of Mathematical Biology,2014,66(4):879-883.

[5]张少辉 靳祯．具有非线性发生率的传染病模型性态分析[J].中北大学学报(自然科学版), 2012,33(4):353-357.

[6]马知恩 ,周义仓,王稳地,靳祯 .传染病动力学的数学建模与研究 [M ].北京:科学出版社, 2004.

[责任编辑：王军]

The stability of a virus model with immune response

TIAN Haiyan, GUO Jianmin, GUO Caixia

( School of Mathematics and Computer Science, Datong University, Datong 037009,China)

In this paper, we built a virus dynamics model with Holling Ⅱinfection rate and immune response.We discussed the nonnegativity and boundedness of the solution.By constructing suitable Lyapunov functions and applying LaSalle’s invariance principle we have proven that the infection-free equilibrium is globally asymptotically stable.

virus infection; global stability; immune response; Lyapunov function

2016-03-01

国家青年科学基金资助项目(11301312)；山西大同大学青年科学基金资助项目(2014Q10)；

田海燕(1984-),女，山西朔州人，山西大同大学助教，硕士，主要从事微分方程的研究.

O175

A

1672-3600(2016)09-0012-03

山西大同大学青年科学基金资助项目(2015K5)