关于最优资本配置模型研究的文献综述

【摘要】资本配置的优化问题一直是学界研究的热点，传统的马科维茨均值方差模型在提出之后，被广泛的应用于投资组合的选择和资本配置。国内外学者受其启发，开始在该理论的基础上对最优资本配置模型进行优化与改良，得到了相当丰富的研究成果。本文整理了最优资本配置模型的研究文献，涉及的较为典型的模型除了传统的均值方差模型外，还有损失最小化模型、MV模型和尾均值-方差模型，在对这些模型进行比较分析的基础上本文提出了未来研究中仍需改进的三个方面。

【关键词】资本配置 尾均值-方差 模型优化

一、引言

随着证券市场的不断规范化，资本配置在投资决策中的地位逐渐凸显，越来越受到投资者的重视。很早之前国外的研究者就开始强调资本配置对投资收益的决定性作用：William Sharpe（1988）研究指出，资本配置是投资决策中最为重要的部分；Brinson，Hood和Beebower（1986）的研究也证明，资本配置在养老基金的投资总回报中有93.6%可以由资本配置来解释。而在理论界，对优化资本配置的模型探究一直以来也都是学者们关注的重点问题。针对这一研究热点，由于国内资本市场发展较慢，国外学者的研究成果和贡献显然要多于国内的研究者。传统的均值方差模型在1952年被提出之后，被广泛的应用于投资组合的选择和资本配置。国内外学者也纷纷打开思路，开始在该理论的基础上对最优资本配置模型进行优化与改良，得到了相当丰富的研究成果。本文针对最优资本配置模型的研究文献进行了梳理和综述，涉及的较为典型的模型除了传统的均值方差模型外，还有损失最小化模型、MV模型和尾均值-方差模型。在对这些模型分析比较的基础上，本文希望能为最优资本配置模型的改良和对资本配置的进一步研究提供一种可供借鉴的思路。

二、关于最优资本配置模型研究的文献回顾

（一）传统的均值-方差模型

关于最优资本配置的研究，最早提出的理论模型是均值-方差模型，马科维茨在Markowitz（1952）首次构建了该模型，提出用期望收益和收益的方差来量化投资组合的收益与风险之间的关系。他认为任何理性的投资者在面对给定的、具有相同收益率的两个投资选择时，都会选择风险小的那个，并把风险定义为期望收益率的波动率。也就是说，投资者若要追求高回报，则必须承担高风险，他们需要在期初从所有可能的证券组合中选择一个最优的组合，这就是资本配置优化的最简化形式。而为了规避风险，投资者通常选择将投资组合多样化。具体形式如下：

其中，w=（w1，w2，…wn）表示一个投资N个风险资产的权重向量；e表示N个风险资产的期望收益率；Ω表示N个风险资产的收益率的协方差矩阵；u表示投资者所期望的组合收益率；I表示单位向量；rf是无风险收益率。该方程的解即为最优资本配置方案，所有解的集合被称为有效前沿。

均值-方差模型在被提出之后引起了学术界的轰动，学术界由此发现一条新的思路，从这个角度研究资本配置的人越来越多，与该模型相关的研究文献也越来越丰富，作者马科维茨在1990年也获得诺贝尔经济学奖。关于这方面较为典型的研究有：Tobin（1958）在其文中假定所有投资者都在寻找一个均值—方差有效的货币资产组合，假设了一个包含多个风险资产和一个无风险资产的投资组合模型，并假设收益的协方差矩阵是非奇异阵。由于所有资产都是货币资产，投资者所面临的风险就是市场风险，而非违约风险。基于此他提出了著名的“分离定理”：在允许卖空的前提下选择投资组合时，任意有效的证券组合都是由一种无风险资产与一种特殊的风险资产组合构成的。Hicks（1962）使用相关系数的表达方法代替协方差矩阵，对均值方差模型进行了改进，并由此得出结论：在包含现金的资产组合中，组合期望值和标准差之间存在着线性关系。他还认为风险资产的比例始终是沿着这条线形的有效边界的，这也恰好解释了Tobin（1958）关于分离定理的内容。而Sharpe（1963）提出的“单指数模型”通过假定资产收益只与市场总体收益有关，避免了马科维茨理论中所用到的复杂计算。Jondeau和Rockinger（2002）则将投资者的效用函数假设为常数相对风险厌恶（CRRA），将期末期望收益Taylor展开取前4阶高阶矩，运用一阶条件来最优化资产配置。可以说马科维茨的理论模型逐渐演变成了现代金融投资理论的基础，也成为最优资本配置研究的基石。

（二）损失最小化模型

损失最小化模型是在最近几年才被提出的，Dhaene等人（2012）在其研究中建立了一个总体的框架，并设置一个明确的标准来衡量资本的最优配置，他们将资本配置看做一种特定的最优化问题，而这个问题的解就是要令所有投资单位相对于其分配到的资本，其风险总和即离差和达到最小，也就是资本数pi与通过适当的距离测度而得到的Xi尽可能接近。更具体地，针对资本配置问题，他们提出了下面的最优模型：

（三）MV模型

虽然损失最小化的配置模型有许多优点，但是它并没有考虑到一个重要的问题：损失函数的变异性。在该模型中，我们只依赖损失程度函数，而损失函数重要的变异因素并未被纳入其中。事实上，传统的均值—方差其实早已考虑到变异性的问题，Landsman，Z.（2010）参考了均值-方差模型的度量方法，提出以下最优配置模型：

（四）TMV模型

传统的马科维茨投资组合理论、损失最小化模型和MV模型经过上述学者的补充和扩展，已经形成了各自较为完善的理论系统。然而他们都是建立在诸如收益率服从正态分布这样一系列过于理想化的假设下，因而无法很好地应用于实际问题。例如，与正态分布相比，现实中的收益分布常常在中间部分出现高峰、中间求较为细薄、出现厚尾，以及左偏等情况。针对这样的问题不少学者对上述模型提出了质疑：Mao（1970），Hogan和Warren（1974），Harlow（1970）等人就认为下半方差能更准确地刻画风险，因此他们对传统的均值-方差模型进行了改良，构建了均值-半方差模型。Konno和Suzuki（1995）则分析了在收益不对称情况下的均值-方差-偏度模型，他们认为具有相同均值和方差的资产组合通常具有不同的偏度，而偏度大的投资组合更可能获得较大收益率。显然该模型在收益率分布不对称的情况下更具价值。在所有的改良方法中，最著名的应该就是尾部条件期望（TCE，也称为CVaR）。

我们要在理解VaR的基础上认识TCE，而关于VaR，最早的思路可以追溯到Roy（1952）提出的“安全首要模型”（Safety -First Portfolio Theory），他在这个模型中把投资组合的均值和方差作为一个整体来选择，提出以极小化投资组合收益小于给定的“灾险水平”的概率作为模型的决策准则。VaR的概念在1993年G-30会议上被正式提出，其定义为：一定时期内，在一定置信度（a）下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。用公式可以表示为：

P（X≤VaR）=α

有三种常见的方法可以用来计算VaR：参数方法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法。VaR方法控制了最大的损失，不管金融风险的根源出自市场，这个模型都可用一个数值表示未来某个时期的潜在损失，因而不同的市场、交易者和金融工具的风险就可以进行比较。但该方法也存在以下两个缺陷：首先，VaR不满足次可加性；其次，VaR尾部损失测量时存在非充分性，即它无法考察超过分位点的下方风险（左尾）信息，这使人们忽略了小概率发生的巨额损失情形甚至是金融危机事件，而这些恰恰是风险管理所必须关注的。

由于上述两个缺陷的存在，Artzner等人（1997）提出了TCE方法，这个方法测量的是小于VaR的损失的期望值，可以用下面的方程表示：

其中，VaRq=inf{x：F（x）≥q}是X或者VaR的q分为点，p*=（p*1，…，p*n）为X的分布函数。

从上式中我们不难发现TCE与VaR的区别：首先，前者不是单一的分位点（这与VaR有根本区别），而是尾部损失的平均值，只有将所有大于VaR的尾部损失全部估计到才能够计算TCE，因此TCE对尾部损失的测量是充分的。其次，Artzner等（1999）、Acerb等（2001）通过不同的方式都证明了TCE满足次可加性，即对于任意的随机分布中的回报和，下式始终成立：

CVaRα（X+Y）≤CVaRα（X）+CVaRα（Y）

因此，TCE在运用的时候相对更加灵活，很多学者将其用于各种分布假设之中。例如，Panjer（2002）在多元正态分布的假设下使用TCE来解决资本配置问题；Landsman和Valdez（2003）将该模型扩展到多元椭圆分布下；Furman和Landsman（2005，2006）将其扩展到多元伽马和特威迪分布下；Chiragiev和Landsman（2007）则将其扩展到多元帕累托分布下；Cai和Li（2005）也将其扩展phase-type分布下。

他们将该模型拓展性地运用于多元椭圆分布下，给出了明确的最优配置表达式，并根据TMV模型提供多元正则变化的渐近的配置公式，最后他们利用保险中的数据说明了该模型的实用性。

三、简单评述

研究资本配置的文献相当丰富，而本文则将焦点放在关于最优资本配置模型的研究上，对四个较为重要的模型进行了如上梳理和综述，通过比较我们可以发现他们各自的优点、不足以及相关性。

首先，传统的均值-方差模型最大的贡献在于首次提出以均值和方差刻画收益和风险，在给定的收益下，求得风险最小的组合即有效前沿。这个模型的提出尽管具有里程碑式的意义，但又仅仅是一个比较粗略的模型，毕竟它是建立在过于理想的假设条件下的。这也给后来的学者很大的扩展和补充的空间，许多重要的理论都是在其基础上提出的，例如分离定理、单指数模型等，包括近几年刚发展起来的MV模型、尾均值-方差模型（TMV）最初的思想同样都源于此。

损失最小化模型则是从另外一个角度出发构建的理论，它提出一个衡量最优资本配置的新规则，即分配给一个项目的资本数要尽可能地接近该项目所承担的风险。它是对现有研究的高度概括，但只是提供了一个框架，并不是完整的度量模型。这个模型一方面具有很大的适用性，其中关于距离的测量方法可以根据理论的发展进一步地优化，另一方面它又不能单独地被使用，需要结合其他的方法才能构成一个完整的模型。因此，可以将这个模型与各其他度量的模型一起，形成一套基于损失最小化模型的最优资本配置体系。

然后，MV模型是在传统的均值-方差模型的基础上，利用损失最小化模型的思想并克服了其没有变异性的缺陷，将均值与方差同时纳入模型中，其最大的优点是决策者可以根据项目的特征自行调整变异的权重系数，也可以通过对历史数据进行建模来确定最合适的权重系数。另外，因二次函数具有整洁的最优配置形式，所以MV模型用其作为度量损失的方法，但该模型还是没有处理好尾部风险的问题。

最后，与文献中其他的配置规则相比，TMV模型的优势是能同时控制损失函数的变异性和尾部风险。它从尾部条件期望（TCE）和尾部条件方差（TVC）出发，研究在VaR的约束下的最优资本配置，科学地将尾部风险纳入模型之中，并且将之运用于椭圆分布和多元正则分布下。总的来说，这种方法能更好地解释企业所面临的风险的性质，但TMV模型一个潜在的缺点是在具体计算时涉及的参数都由研究者直接给定，而并不是通过科学的计算方法推导出的。例如，椭圆分布的密度生成元中，我们可以简化性地假设p>3/2，kp=（2p-3）2，但是这样的假设并没有结合原有数据的特征来确定，这可能会导致最后结果的不精确；另外，Xu和Mao（2013）在TMV模型中沿用了MV模型的做法，使用二次函数来度量损失，而另一个在其他文献中被广泛采用的度量方法是绝对偏差函数。因此，作为TMV模型的一个拓展，我们也可以基于绝对偏差函数来寻找最优配置策略。更具体地说就是寻求以下模型的最优的解决方案：

综合上文提到的几个模型来看，现有的关于最优资本配置模型的研究仍有以下几方面需要改进：一是上述模型都只涉及到单期的最优化问题。关于最优资本配置的模型在发展过程中虽然经历了很多改良，比如在传统的均值-方差模型的理论基础上参考损失最小化模型的思想，以及进一步地考虑变异性和尾部风险，但是这些改良始终都没有考虑动态下的最优资本配置，上述模型所涉及的向量均是一维的，这大大地减弱了模型的实用性，未来的研究可以考虑如何建立一个动态最优资本配置模型；二是上述模型衡量最优配置的规则过于单一。现有的研究关于最优配置的诸如在既定收益下考虑风险最小的组合，以及资本数与风险尽可能地相近的假定的目标都是单一的，而现实中的资本配置可能受到很多的约束，面临的环境也很复杂，因此在未来的研究中，可以尝试设定多个配置目标，得出一个最优配置的临界值，同时可以建立一个最优配置的区间。三是具体分布下的参数的假定并没有科学的依据。现有的研究涉及的是某个分布下的具体探讨，而在这些分布中需要假定很多参数，目前对于这些参数的确定缺乏一个严谨的理论体系，因此今后可以考虑加强关于这一方面的研究。

参考文献

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[2]Xu M，Mao T.Optimal Capital Allocation Based on the Tail Mean–Variance Model [J].Insurance Mathematics & Economics，2013，53（3）：533-543.

[3]Dhaene，J.，Tsanakas，A.，Valdez，E，Vanduffel，S.Optimal Capital Allocation Principles [J].Journal of Risk and Insurance，2012，79：1-28.

[4]Jondeau E，Rockinger M.Asset Allocation in Transition Economies [J].Ssrn Electronic Journal，2002.

[5]王力，徐美萍.基于多元t分布和均值—方差模型的投资组合风险分析[J].鲁东大学学报：自然科学版，2016，32（2）.

[6]王大鹏，赵正堂.中国保险业资产配置与风险整合——基于虚实配比、Copula-CVaR模型和Monte Carlo算法的实证研究[J].产经评论，2016，7（02）：71-82.

作者简介：肖赵华（1992-），女，浙江苍南人，硕士研究生，主要研究方向为资本市场。