关于处理小学数学教学疑难争议问题的几点思考

刘自强

在小学数学教学中，常有一些疑难问题会引起教师的争议、困惑。比如：对一些数学概念的理解与把握等知识性问题;对不同年段、学段教学要求的“度”的把握等技术性问题;对教师教学语言、学生作业格式的要求等规范性问题;因教学的阶段要求以及学科概念与生活用语习惯混淆而引起的差异性问题，等等。这些问题往往在学生答题或质疑时产生，教师却难以给出明确回答，甚至在同行之间引发争议，时常辩论不休，但又莫衷一是，成为长期困扰一线教师的“沉疴痼疾”。国内教育教学刊物上虽然有过一些相关具体问题的探讨，但多是零散讨论，就题论题，没能从根本上提高教师的分析、辨别能力。

针对上述问题，福州市小学数学学科教研工作室从为教研服务的立场出发，将此作为一个课题，向一线教师广泛征集疑难争议问题，并组织教研力量进行深入研究，力图给出较为规范、有根据的回答。在此基础上，我们还通过适当分类，归纳形成了解决类似问题的一些基本方法、策略或原则。以下通过举例说明，与一线教师共享，希望有助于大家据此对有关问题进行分析，作出正确判断。

一、登高望远，准确把握数学知识

从教师自身来看，很多争议是由于教师自身数学本体性知识的缺陷，对数学概念的本质及其产生的背景缺乏深刻的把握，以及小学教师职业带来的思维“童化”——即伴随着体验儿童认知特点的过程，引起数学思维的退化现象。

问题1 三角形能叫三边形吗？反之，多边形为什么不叫多角形？

简答：在数学上，多边形是用它的边（线段）来定义的，其定义过程的逻辑顺序是：

线段→折线→封闭折线→平面折线→多边形→n边形

所以，称“多边形”符合它的概念定义特征。另外，组成几何体的基本元素是点、线、面，用“×边形”“×面体”来命名相关几何形体也更显得简洁、一致。

三角形的定义也是如此：“由三条线段首尾顺次连接所组成的图形……”按理叫它“三边形”也无不可。

但是，虽然数学概念的定义要基于它的本质属性，而它的命名却既有一定的合理性（能刻画概念特征，简洁、系统），也有一定的偶然性（先入为主，沿用生活概念，约定俗成）。

采用“多边形”命名主要源于前一种因素。其实类似于三角形，生活中人们通常称四边形、六边形为“四角形”“六角形”。《中学数学教师手册》中就有“……多边形，又叫多角形”的表述和“多角形，即多边形”的解释，可见两种命名均可，但n≥4时，数学上习惯称之为“n边形”。

至于n=3时，数学上不采用“三边形”这个名称，更多的还是因为现实生活的约定俗成因素，即“三角形”名称在生活中对人们的影响更强，所以《中学数学教师手册》中特别指出：“……当n=3时，习惯上称为三角形，而不说三边形。”

所以，如果有学生质疑，可以告诉他：叫“三边形”有道理，但是数学上尊重约定俗成。

由此引申到：课堂教学中让小学生给数学概念“起名字”是否有意义？——我们认为，关键要看是否指向数学本质，引导学生关注概念的特征（本质属性）。比如：有的老师在给三角形分类时，让学生给各类三角形起名字，由此引导学生去关注各类三角形的不同特点，显然很有意义。但如果只是形式上想体现让学生“自主”，那就大可不必了。

问题2 “平角是一条直线”，“周角是一条射线”，对吗？0°角与周角有什么区别？

简答：新教材对角的定义是：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。所以，我们要明确：角的图形包括一个顶点、两条边以及它们叉开（旋转过）的角度。那么：

（1）平角是一条射线（始边）绕它的端点旋转180度，使终边和始边在同一条直线上，方向相反时，所构成的图形。它的要素包括：一个顶点，两条边以及一边转过的角度。平角是可以测量的，它等于180度。而直线是没有端点、无限长、不可测量、没有角度的。

可见平角与直线是不同的概念，平角不是一条直线，但是我们可以说“平角的两边在同一条直线上”。

（2）由上可知，一个角一定有一条始边和一条终边，看一个角不能只看终边或只看始边。所以，周角不是一条射线，而是射线绕它的端点旋转360度后所成的图形，这时它的两条边重合。0°角（也称零角）同样要看作是两条边重合，因此不能认为是一条射线。零度角与周角的区别在于：零度角的边没有转动。

可见，对于这类问题，教师自身要加强学习，努力提升学科本体知识水平，从更高的视角来分析、把握有关知识，才能拨开迷雾见真理。

二、阶段区别，关注知识后续发展

数学知识是一个系统的整体，但很多数学内容在小学是分阶段、由低到高、螺旋上升编排的，往往在一个阶段内只学习某一知识的一部分，在后续的教学中再逐步加深和拓宽。这就给一线教师的教学及评价带来了“如何把握教学要求的度”的问题。

问题3 二年级上学期教学《角的初步认识》时，认识锐角和钝角，是以直角为标准，说“锐角比直角小”“钝角比直角大”。加上“大于0度”“比平角小”这样的补充说明，是不是更严谨？

简答：这是关于整体认识和阶段把握的问题。新课标第一学段要求：结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。即只要学生能从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征，以及根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。由于二年级学生还没有学习有关角的度量的知识，所以此时只要学生能把一个角与直角进行比较，知道它是哪一种角即可。

第二学段要求：知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的关系。因此，到了四年级上学期学习“角的分类”时，在学习了“角的度量”的基础上进一步认识锐角和钝角，这时才可以要求学生根据角的度数来区分锐角和钝角，明确钝角大于直角而小于平角，锐角小于直角。

由于小学生直观感知的角是有公共端点的两条射线组成的图形，所以不宜介入“零度角”这个概念，此时研究零度角也没有意义。而且，认识周角时还是以直观演示的方式来突破“两边重合”这个难点，添上零度角只会给学生增添无谓的干扰。

问题4 数平行四边形个数时要不要包括长方形？

简答：这个问题要分学段来看。根据新课标，第一学段对平行四边形的学习要求为“能辨认”“会（用它）拼图”，都是直观层面的;第二学段才要求“认识”，即会描述其特征以及与相关对象间的区别和联系。可见，在第二学段学习了平行四边形与长方形（正方形）的关系之后，数平行四边形个数时要包括长方形（同样，数长方形个数时要包括正方形），而在第一学段则不应要求学生做这样的联系。

但也有这样的个例：一名三年级学生在数平行四边形个数时包括了长方形，他说：“爸爸告诉我，长方形也是平行四边形。”我们认为，个别学生在数学上的这种不同发展，是应该允许和肯定的，这样更有利于学生的后续学习。

所以，对于不同阶段学习要求上的差异，我们既要认真钻研新课标和教材，从总体上把握好“度”，也要注意对特殊情况的妥善处理，使之更有利于后续学习的衔接。为此，在评价方面可以灵活掌握，但不必鼓励所有学生都达到那样超前的认识。

三、恰当规范，着重基于数学本质

为了便于数学学习、交流和运用，数学教学中有许多格式等方面的标准要求，我们不妨统称为“规范”。由于各种原因，这些规范在给数学教学和评价提供方便的同时，也带来了一些争议和不必要的麻烦。对此，我们必须明确：严谨是数学的特征之一，所以“规范”是必要的，它有利于促进学生的逻辑思维发展和培养学生良好的学习习惯。其次，我们认为数学学习主要追求的是数学的本质，而非形式，所以“规范”不应是生硬和一成不变的。从一些数学规定不断被优化、简化的历史发展过程，可以看出数学也是在动态发展的。在小学数学教学中，我们要基于数学的本质来看待规范要求，使“规范”与“宽容”相辅相成，更好地促进学生发展。

问题5 在解答如：“妈妈买了15个苹果，吃了8个，还剩几个？”这样“已知总体求部分”的问题时，学生列成加法算式“8+7=15”是否可以？

简答：低年级学生受“想加算减”习惯的影响，常常会经历这样一个过程，但是对这种做法不应鼓励，否则将不利于减法概念的建立，也不利于逆向思维的培养。

遇到这种情况，教师应让学生认识到解题的基本规范，那就是：算出的答案必须是题目所要求的。同时，可以引导他们先将所求用括号表示：（ ）+8=15，然后根据逆运算关系列出减法算式，这样更能体现对学生思维过程的引导。

问题6 对于“怎样简便就怎样算”这类题目，解题时有什么具体要求？

简答：计算是比较主观的过程，肯定应该允许学生存在各自的差异性。从这个意义上说，学生根据自己的计算习惯灵活选择的算法、顺序，只要正确都是可以的。

但是，教学中教师也必须和学生达成评价共识，从更宽阔的视野予以规范要求。那就是“简便”应当表现为：（1）符合运算法则和运算定律;（2）便于口算或简化计算过程。例如：计算125×88，可以有125×8×11，125×80+125×8，125×11×8等不同的计算过程转化。其中第三种先算“125×11”这一步，对于个别人也许觉得简便，但显然没有普遍性。前两种都是先转化成能口算出整十整百的数，对所有人来说都简便。作为平时练习，应该要有这样的引导，让学生自觉地对计算式题进行分析，选择较简便的计算过程，还可以设计较大数字，凸显简便计算的好处，引导学生形成自觉运用有关定律、性质进行简便计算的意识，提高运算能力。但在考查时，则可适当地放宽要求，给学生更多的灵活性。

除了可以定论的规范要求之外，更多的是一些介于黑白之间的“灰色区域”，似乎是A面、B面都有道理，这种情况下只要不会伤及数学的本质，我们就应采取宽容的态度，不要用太多人为“规矩”框住学生，影响他的数学思考。也就是说，对于规范要求问题，应本着：

确实需要规范的，平时教学要从严;应该规范但无碍数学本质的，考试评价可从宽。

四、严谨命题，联系实际避免歧义

教学中很多争议往往是从对学生答题的评价过程产生的。除了上述各种情况外，有相当部分是由于题目设计时表述不够严谨，条件限定不够明确，或者由于题目情境联系生活实际时，数学语言与生活语言的差异造成的。

例如：判断题“正方体的6个面都是长方形”虽然是真命题，但是从试题设计的目的性来看却是劣质题，劣在其检测的目的不明确——是要考查学生对正方体概念的理解，还是对正方形和长方形关系的把握？不如改成：（判断题）“有两个面是正方形的长方体一定是正方体”或“有两个相邻的面是正方形的长方体一定是正方体”，这样检测目的明确，既无歧义，又有思维含量，有利于培养学生的空间想象能力。

可见，设计题目时要仔细斟酌推敲，尽量避免歧义;一旦出现答题争议，要多从题目自身的严谨性上去分析。另外，还要注意数学学科知识与生活概念、习惯用语之间的差别。

数学教育的核心在于培养学生的数学素养。因此，对教学中存在的疑难、争议问题的分析，应本着着眼核心目标，以是否关乎数学本质，是否有利于学生数学素养的提升和后续学习的发展为准则。基于这样的理念，我们就容易作出正确判断，达成共识。