雷达目标宽带散射特性的GGO快速分析方法

陈文锋1，2，龚书喜1，董海林1，张鹏飞1，赵 博1

（1.西安电子科技大学天线与微波技术重点实验室，陕西西安 710071；2.中国电子科技集团公司第三十六研究所，浙江嘉兴 314033）

雷达目标宽带散射特性的GGO快速分析方法

陈文锋1，2，龚书喜1，董海林1，张鹏飞1，赵 博1

（1.西安电子科技大学天线与微波技术重点实验室，陕西西安 710071；2.中国电子科技集团公司第三十六研究所，浙江嘉兴 314033）

文中将降维技术应用到传统矩量法中，并结合梅利逼近对目标二维雷达散射截面进行快速分析.针对角域和频域中目标表面电流的二维展开式，Gauss-Green-Ostrogradsky（GGO）降维技术将问题转化为角域（或频域）的一元函数及其各阶导数的叠加，有效避免了逼近函数二维展开系数的求解过程，并通过控制导数的阶数调整计算精度，从而快速有效获得雷达目标二维散射特性.与二维梅利逼近方法相比，该方法在不失精度下更易于实现编程计算，内存需求和求解时间仅为原始算法的1/6和1/3.

矩量法；雷达散射截面；梅利逼近；降维技术

在研究电磁场边值问题的目标散射时，雷达散射截面（Radar Cross Section，RCS）和角度与频率密切相关，这使得在进行数值分析时，需要分别或同时在角域和频域上求解感应电流的分布矩阵方程.应用传统的扫角与扫频法计算时，必须用非常小的角度和频率间隔才能获得精确的计算结果，从而在整个角域和频域内增加了矩阵方程求解量，大量占用了计算时间和内存.因此，在分析宽角和宽带响应时，提高数值计算方法的效率就更为重要.

传统的矩量法（Method of Moment，Mo M）［1］是一种有效且高精度的数值方法，但长期受限于计算机的内存，不能在求解电大尺寸问题过程中得到应用，使其只能局限于电小尺寸问题的计算.上世纪90年代以来，伴随着硬件的发展和各种计算方法的应用，各种基于矩量法的快速算法取得很大进步，如模型估计（Model-Based Parameter Estimation，MBPE）［2］、渐近波形估计（Asymptotic Waveform Evaluation，AWE）［3-4］、最佳一致逼近［5］和梅利逼近［6-8］等.文献［6］给出的一维单变量梅利逼近，精确有效地计算了目标RCS的频率响应，但该方法无法得到三维的RCS数据.文献［7］将其扩展成二维的外推技术，即对目标RCS的角度和频率同时进行外推，并快速计算雷达散射截面的空频二维特性，但二维梅利逼近技术中的电流未知展开系数求解过程相对较复杂.

有理逼近的降维展开法［9-10］广泛应用于桥梁建造、工程设计中，其原理通过基于GGO公式［11］，提出利用一元函数及其各阶导数的叠加实现二元函数的平滑逼近.文献［12］将基于Mo M的AWE技术结合降维展开技术，实现了频域和角域外推.笔者将基于Mo M的梅利逼近方法结合降维展开技术，分别在角域和频域内进行计算，分析目标在载体平台上的宽带特性.然后通过坐标的变换，计算出在给定的频带中切比雪夫节点，并应用Mo M计算获得节点处的表面电流，再用梅利逼近技术快速计算出给定频带内任意频点上的表面电流，从而完成宽带目标的快速扫角和扫频.计算结果表明，在保证精度的前提下，该技术使计算效率得到了明显的提高.

1 基本理论

1.1矩量法理论概述

众所周知，可用以下电场积分方程（Electric Field Integral Equation，EFIE）表示目标的电磁散射问题:

其中，S为目标的表面.JS（r）为目标表面上分布的待求解感应电流；Et（r）为已知的入射波电场；L｛·｝为线性微积分算子.

其中，ω和μ0分别是角频率和磁导率；k=2πλ，是自由空间波数；G（r）为格林函数.

用矩量法把式（1）化为矩阵方程进行求解:

其中，θ和f分别表示入射波的角度和频率；对于非周期的目标结构，矩阵Z（f）是复稠密的，与f有关；V（f，θ）是激励矢量，与θ和f都有关；I（f，θ）是目标表面待求解的感应电流矢量，与θ和f都有关.因此，RCS与θ和f都有关，若用传统矩量法计算，需要在角域［θmin，θmax］和频域［fmin，fmax］上逐点扫描，并重复求解式（3），这将占用大量计算机内存，且产生巨大的计算量.

1.2有理逼近的降维展开法

有理逼近的降维展开技术，其原理通过基于GGO公式，针对目标表面电流中角度与频率的二元函数进行降维处理，利用一元函数及其各阶导数的叠加实现二元函数的平滑逼近.它的优点是只需对频率和角度分别进行计算，对比现有的二维梅利逼近技术，减少需要对频率和角度同时求解的计算量.

假设函数I（X）=I（x1，x2，…，xn） 在Ω上连续可微，一般形式的GGO公式为

其中，d S是曲面Sn-1的面积元素；∂xn∂Ω表示变量xn对曲面的外法向量的方向导数.

其中，最后一项ρn表示余项.其表达式如下:

将式（9）代入式（7）和式（8），可得

其中，

式（10）中，余项ρn可以表示成

于是由式（10），可得以下展开式:

1.3梅利逼近

分析目标的宽带特性，有理梅利逼近的具体步骤如下:

步骤1 对于给定x∈［xa，xb］，变换坐标得

由此，可在［xa，xb］中确定nl个切比雪夫节点，其表达式为

步骤3 由切比雪夫逼近可得目标的表面电流系数I1（x），表达式为

其中，nl为截断阶数 ，

步骤4 用梅利有理展开替代切比雪夫多项式，可以提高计算精度.电流系数I1（x）重写为

，可得未知系数ai（i=0，1，…，L）和bj（j=0，1，…，M）如下:

其中，

当有理函数系数ai和bj被确定，再将其代入式（25），即可求出给定频域分布中任意频点的电流密度，然后分析目标宽带的散射特性.

2 数值结果与分析

应用该方法分析任意形状导体目标的RCS，并在给定角域和频带范围内实现快速扫描.为验证该方法的准确性和高效性，文中给出了两个算例的数值结果.所有算例都在主频为3.0 GHz的个人电脑上完成，文中所有算法均采用Fortran语言编程实现.

考虑立方体和锥体的组合体a，立方体的尺寸为0.5 m×0.5 m×0.5 m，锥体的高为0.4 m，整个模型剖面为2 002个三角形，总未知量为3 003个.采用文中提出的降维阶数N=8和梅利逼近（L=7，M=7）结合Mo M分析组合体随频率f和入射角度θ同时变化的情况.考察组合体在ϕ=0°时随频率f（500～700 MHz）和入射角度θ（-90°～+90°）变化的二维散射特性，频率间隔为5 MHz，角度间隔为3°，计算单站RCS的三维图，如图1所示.将θ=45°时的结果与Mo M逐点计算结果进行比较，频率间隔为5 MHz，二者吻合良好，如图2所示.

图1　组合体a的单站RCS的三维图形

图2　组合体a单站RCS随频率f的变化情况

图3　组合体b的单站RCS的三维图形

图4　组合体b单站RCS随角度θ的变化情况

考虑半球和圆锥体的组合体b，半球的半径为0.6 m，圆锥体的高为0.6 m.整个模型剖面为2 218个三角形，总未知量为3 327个.采用文中提出的降维阶数N=8和梅利逼近（L=7，M=7）结合Mo M分析组合体随频率f和入射角度θ同时变化的情况.考察组合体在ϕ=0°时随频率f（300～500 MHz）和入射角度θ（-90°～+90°）变化的二维散射特性，频率间隔为5 MHz，角度间隔为3°，计算单站RCS的三维图，如图3所示.将f=400 M Hz时的结果与Mo M逐点计算结果进行比较，角度间隔为3°，二者吻合良好，如图4所示.

图5给出了组合体a和组合体b的余项随着降维阶数N的变化情况.当N≥8时，余项δN的误差在0.15 d B以下.表1给出了组合体a和组合体b中不同方法的计算内存和效率对比.

图5　组合体的余项随着降维阶数N的变化情况

表1　组合体a和组合体b中不同方法的计算性能对比

3 结 论

当不同频率和角度入射时，Mo M结合降维展开技术和梅利逼近法与Mo M逐点计算结果吻合良好，使计算效率得到有效的提高，较之传统Mo M的计算时间和内存需求上有明显优势.数值结果表明了该方法的有效性.文中采用的有理逼近的降维技术将目标表面电流关于频率与角度的二元函数化为一元函数的叠加，以及梅利逼近技术快速获取关于角度或频率的一元函数的目标表面电流，从而有效地避免传统方法在角域和频域上对矩阵方程的逐点重复求解，计算效率得到了极大提升.因此，矩量法结合有理逼近的降维展开法和梅利逼近方法分析目标在载体平台上的散射特性，在实际工程应用中有一定的指导意义.

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［2］CHEN M S，SUN Y X，WU X L.Wavelet Based MBPE Technique for Fast RCS Computation of DNG Metamaterials ［C］//Procedia Engineering-International Workshop on Information and Electronics Engineering:29.Oxford:Elsevier，2012:2961-2965.

［3］WU B Y，SHENG X Q.Application of Asymptotic Waveform Evaluation to Hybrid FE-BI-MLFMA for Fast RCS Computation over a Frequency Band［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2013，61（5）:2597-2604.

［4］MA J，GONG S X，WANG X，et al.Efficient Wide-band Analysis of Antennas Around a Conducting Platform Using Mo M-PO Hybrid Method and Asymptotic Waveform Evaluation Technique［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2012，60（12）:6048-6052.

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［10］王仁宏，粱学章.多元函数逼近［M］.北京:科学出版社，1988.

［11］HSU L C.On a Method for Expanding Multiple Integrals in Terms of Integrals in Lower Dimensions［J］.Acta Mathematica Hungarica，2005，14:359-367.

［12］童创明，高阳，卢燕，等.一种新的雷达目标散射截面宽带和宽角同时外推技术［J］.电波科学学报，2007，22（5）:790-793. TONG Chuangming，GAO Yang，LU Yan，et al.A New Extrapolation of RCSin both Angular and Frequency Domains ［J］.Chinese Journal of Radio Science，2007，22（5）:790-793.

（编辑:李恩科）

Fast analysis of wide-band scattering from radar targets using the GGO method

CHEN Wenfeng1，2，GONG Shuxi1，DONG Hailin1，ZHANG Pengfei1，ZH AO Bo1
（1.Science and Technology on Antenna and Microwave Lab.，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China；2.No.36 Research Institute of CETC，Jiaxing 314033，China）

The dimensions reducing technique combined with the Maehly approximation is applied to the Method of Moment（Mo M）for analysis of the two-dimensional radar cross section（RCS）of the target. The Gauss-Green-Ostrogradsky（GGO）algorithm is utilized to transform the two-dimensional expression for the surface currents in both spatial and frequency domains to one dimension and its derivatives.This procedure avoids the solution of expansion coefficients in the two-dimensional expression and makes the accuracy adjustable by the order of derivatives.Compared with the two-dimensional Maehly approximation method，the proposed scheme can acquire RCS data efficiently with good accuracy and reduce procedural complexity.Finally，numerical results show that memory requirement and calculation time are about 1/6 and 1/3 of what are needed in the original method.

method of moment；radar cross section；Maehly approximation；reduced dimensions technique

TN802.1

A

1001-2400（2016）01-0060-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.011

2014-08-12 网络出版时间：2015-04-14

国家自然科学基金资助项目（61201023）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（K5051302021）

陈文锋（1982-），男，西安电子科技大学博士研究生，E-mail:laker-cwf@163.com.

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.008.html