高数思想指导　完善初数错漏

彭翕成

高数思想指导完善初数错漏

彭翕成

有老师表示，高等数学对中学数学的指导作用毋庸置疑，很多题目用初等数学方法解答较为困难，但使用高等数学方法则比较简单。比如罗必塔法则、泰勒展开式，让很多题目变得容易，因为命题人很可能就是从高等数学里获得灵感。问题是，考试时不能直接应用这些高等数学公式，可谓“空有屠龙技艺，没有用武之地”！

这种情况确实存在。这就好比成年人做小学的应用题，本来用列方程很容易解决，但限于算术方法，解答起来则十分困难。这说明高等数学应用于初等数学，需要研究如何化用，而不能照搬。除了明面上的应用，也可以是无形中的渗透，指导我们从更高的角度认识问题，特别是在初等数学中容易忽视的问题。下面笔者举例说明。

多本资料上有这道题，解法也各不相同。

由于a，b，c，d是任意正实数，放缩时等号不能取到，所以1＜s＜2。

对比之下，相信大多数人都会选择解法2。但解法2真的就是完美的么？要知道此题是第16届IMO试题，又怎会如此容易！

解法2只是证明了1＜s＜2，但s能否真的取尽（1，2）中的所有数？如果不能证明s取尽（1，2）中的所有数，那只是说明了1（2）是s的下（上）界，而不能说明是下（上）确界，也就和解法1中得到范围（0，4］并无实质的区别。

（1，2）中的所有数。

思考：解法1并无错，只是得到（0，4］是下（上）界，而非下（上）确界，需要进一步压缩。解法2利用放缩技巧，得到更精确的取值范围，只是忽视了连续性。中学里接触的函数几乎都是初等函数，多数情况下不会出问题，因而这一问题也常常被忽视。……