各向异性对非均匀折射纵波的影响

法　林, 白春玲, 赵　洁

(1.西安邮电大学 电子工程学院， 陕西 西安 710121；　2.西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)



各向异性对非均匀折射纵波的影响

法林1, 白春玲2, 赵洁1

(1.西安邮电大学 电子工程学院， 陕西 西安 710121；2.西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)

根据岩石的各向异性，将非均匀折射纵波入射到固-固介质界面，通过分析异常入射角存在与不存在两种情况，分别建立椭圆极化方程。利用Christoffel方程，建立极化系数与各向异性参数之间的关系,分析并讨论了岩石各向异性参数对非均匀折射纵波的影响。数值仿真结果表明，非均匀折射纵波的初始相位会随着岩石的各向异性参数的变化而变化，并且也会改变其极化轨迹，使得极化轨迹的形状和大小发生变化。

各向异性；椭圆极化；非均匀波；异常入射角

地震勘探[1]是人工激发地震波，通过观察地震波在岩石中的传播规律，利用数学手段反演地球介质的物理参量，从而推断出地层的地质结构，明确矿藏的存储位置。目前，大多地震勘探数据处理技术是假设基于地下介质为各向同性的，而很少考虑介质的各向异性对其界面产生的非均匀波的极化状态的影响[2-5]。因此，研究各向异性对非均匀折射纵波的影响对提高地震勘探数据的精确性有一定的意义。

本文选取固-固界面，将纵波(P波)入射到该介质界面，推导出折射纵波的椭圆偏振方程，并建立椭圆偏振方程与各向异性参数之间的关系，以期分析岩石各向异性参数对非均匀折射纵波的影响。

1　折射纵波的椭圆极化方程

1.1极化位移

将P波入射到固体-固体形成的介质界面，如图1所示，实线表示的相速度的方向，虚线表示极化方向。

图1　P波入射到两种固-固介质界面

图1中，P波在x-z平面传播，θ(0)为入射P波的入射角，θ(1)为反射P波的反射射角，θ(2)为折射P波的折射射角，θ(3)为反射SV波的反射角，θ(4)为折射SV波的折射角。在固-固界面处(即Z=0时)，入射波的极化位移定义为[6]

k(0)xsinθ(0)+k(0)zcosθ(0))],

(1)

则折射纵波的极化位移可表示为

k(2)xsinθ(2)+k(2)zcosθ(2)+φ(2))],

(2)

1.2建立椭圆极化方程

当P波入射到两种不同的固-固界面时，考虑到岩石的各向异性，需要分析以下两种情况。

根据式(2)可得

k(2)xsinθ(2)+k(2)zcosθ(2)+φ(2))]。

(3)

由斯涅尔定律[7]可以推出

k(2)xsinθ(2)=k(0)xsinθ(0)。

将式(3)拆分为两式，即x方向和z方向的极化位移可表示为

k(0)xsinθ(0)+φ(2))],

(4)

(5)

分别取式(4)和式(5)的实部可得

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(6)

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(7)

对式(6)和式(7)通过移项、平方，进一步化简为

cos2(ωt-k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(8)

sin2(ωt-k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(9)

将式(9)除以式(8)可得极化的初始相位为

(10)

分别对式(8)和式(9)两边同时平方并相加，可得非均匀折射纵波的椭圆极化方程

(11)

(12)

k(0)xsinθ(0)+φ(2))],

(13)

分别取式(12)和式(13)的实部可得

k(0)xsinθ(0)+φ(2)),

(14)

k(0)xsinθ(2)+φ(2)),

(15)

将式(15)除以式(14)可得极化的初始相位为

(16)

分别对式(14)和式(15)两边同时平方并相加，可得非均匀折射纵波的椭圆方程为

(17)

2　极化系数与各向异性参数

2.1固-固界面模型

对于垂直对称轴的横向各向同性介质,以六边形的固态结构描述其性能,可用弹性刚度矩阵[8]表示为

(18)

选取各向异性页岩与砂岩和油气页岩形成的界面，其各向异性参数[9-11]分别如表1和表2所示。

表1　各向异性页岩与砂岩

表2　各向异性页岩与油气页岩

表1和表2中，α(n)和β(n)为纵波和横波垂直于岩石界面的相速度，ε(n)、δ(n)和γ(n)为岩石的各向异性参数。

表1和表2中各向异性参数与弹性刚度矩阵中的每一个元素的关系为

(β(n))2][(ε(n)+1)(α(n))2+

2.2极化系数与各向异性参数之间的关系

Christoffel方程[12-13]体现了极化系数与各向异性之间的关系，在没有其他外力的情况下，Christoffel方程可以表示为

ΓU=0，

(19)

式中

(20)

由式(20)可以得到

(21)

(22)

根据式(21)和式(22)，结合归一化条件

得到极化系数的模值为

(23)

(24)

由式(23)和式(24)，即可得到极化系数的模值与各项异性参数之间的关系。

3　计算和讨论

研究各向异性参数(ε(1),δ(1),ε(2)和δ(2))对椭圆极化影响时，使用控制变量法，使其中一个变化，而另外三个保持不变。每个各向异性参数的物理测量值由表1和表2给出。

3.1各向异性参数对初始相位的影响

将式(23)和式(24)分别代人式(10)，即可得到情况1各向异性参数与初始相位之间的关系。从表1中选取各向异性参数的值，并选取临界入射角附近的入射角θ(0)=55.05°，使用Matlab对其进行数值仿真。初始相位φ随着4个各向异性参数的变化如图2所示。

图2　表1各向异性参数对初始相位的影响

由图2可以看出，对于入射介质，各向异性参数ε(1)和δ(1)对初始相位的影响趋势是相同的，即当ε(1)和δ(1)增大时，初始相位的绝对值是逐渐减小的。对于折射介质，各项异性参数ε(2)和δ(2)对初始相位的影响是不同的，即随着ε(2)的增大，初始相位的绝对值逐渐增大，而随着δ(2)的增大，初始相位的绝对值先缓慢增大，后逐渐减小。

图3　表2各向异性参数对初始相位的影响

由图3可以看出，对于入射介质，随着ε(1)和δ(1)的缓慢增大，初始相位的绝对值迅速减小。对于折射介质，随着ε(2)的增大，初始相位的绝对值迅速增大；当δ(2)增大时，初始相位的绝对值缓慢减小，且几乎呈线性减小，这与页岩与油气页岩界面不同。

图4　表2各向异性参数对初始相位的影响

由图4可以看出，对于入射介质，随着ε(1)和δ(1)的缓慢增大，初始相位的绝对值也缓慢减小。然而，随着ε(2)的增大，初始相位的绝对值缓慢增大，当δ(2)增大时，初始相位的绝对值呈线性缓慢减小。

由以上仿真结果可知，各向异性参数会影响初始相位，且4个各向异性参数(ε(1),δ(1),ε(2)和δ(2))对初始相位的变化趋势、幅度的影响程度都不相同。

3.2各向异性参数对椭圆极化轨迹的影响

将式(23)和式(24)分别代人式(11)，即可得到各向异性参数与椭圆极化方程的关系。从表1中选取各向异性参数的值，并选临界入射角附近的入射角θ(0)=55.05°，对其进行数值仿真。椭圆极化轨迹的大小，形状随着4个各向异性参数的变化如图5所示。

图5　表1各向异性参数对椭圆极化轨迹的影响

由图5可知，对于入射介质，随着ε(1)的增大，长轴逐渐边长，椭圆轨迹逐渐变扁。随着δ(1)的增大，椭圆轨迹变化不明显。对于折射介质，随着ε(2)的增大，短轴逐渐变长，椭圆轨迹逐渐变圆，而随着δ(2)的增大，椭圆轨迹略微变扁。

图6　表2各向异性参数对椭圆极化轨迹的影响

由图6可知，对于入射介质，随着ε(1)和δ(1)的增大，椭圆轨迹逐渐变扁；对于折射介质，随着ε(2)的增大，短轴逐渐变长，椭圆轨迹逐渐变圆，而δ(2)对椭圆轨迹影响较小。

图7　表2各向异性参数对椭圆极化轨迹的影响

由图7可知：随着ε(1)的增大，长轴和短轴逐渐变长，椭圆轨迹逐渐大；随着ε(2)的增大，长轴和短轴逐渐变短，椭圆轨迹逐渐小。δ(1)和δ(2)对椭圆轨迹影响较小。

另外，仿真结果还表明，当入射角θ(0)=34.58°时，非均匀折射纵波是右旋椭圆极化波，而当入射角θ(0)=63.81°时，非均匀折射纵波是左旋极化纵波。

4　结语

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[责任编辑:祝剑]

Influence of anisotropy on inhomogenously refracted P-wave

FA Lin1,BAI Chunling2,ZHAO Jie1

(1. School of Electronic Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China; 2. School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

According to the anisotropy of the rock, the inhomogenous refracted P-wave incident at the interface of two different solids. An elliptical-polarization equation is established by analyzing and discussing two situations where the anomalous incident-angle exists or not. Through the equation of Christoffel, the relationship between the polarization coefficient and the anisotropy parameter is established. The influence of anisotropic parameters on the inhomogenous refracted P-wave is then discussed. Numerical Simulation results show that the initial phase angle of the elliptical-polarization trajectory would change with the change of the rock anisotropy parameters, and same as the elliptical-polarization trajectory. The anisotropy of the rock will make the shape and size of the elliptical-polarization trajectory change.

anisotropy, elliptical polarization, inhomogenous wave, anomalous incident-angle

10.13682/j.issn.2095-6533.2016.04.012

2016-03-06

国家自然科学基金资助项目(40974078)

法林(1955-)，男，教授，从事声学地球物理探测及信号处理研究。E-mail:fa_yy@aliyun.com

白春玲(1990-),女，硕士研究生，研究方向为信号与信息处理。E-mail:978604297@qq.com

O422.3

A

2095-6533(2016)04-0061-06