如何用尺规将一个角三等分

☉江苏省盐城市尚庄初级中学刘志才唐明干☉江苏省盐城市葛武初级中学王云峰

如何用尺规将一个角三等分

☉江苏省盐城市尚庄初级中学刘志才唐明干
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一、三分角的雏形

如图1，已知一定角∠MON，AL∥OM，如何将角∠MON三等分呢？设两平行线OM、AL间的距离为m，则在AL上必存在一点B，在ON上必存在一点C，且B、C两点均是唯一的，使得OB＝OC、BC＝2m，作BE⊥OM于点E，作OD⊥BC于点D，可得BE＝BD＝CD＝m，易得Rt△OCD≌Rt△OBD≌Rt△OBE，从而得到∠1＝∠2＝∠3＝∠MON.

图1

二、初步探索与研究

为了能得到上面所说的△OBC，我们从图2入手，加以研究.

如图2，以点O为圆心，大于OA之长为半径依次画弧，分别得到等腰三角形OFG、等腰三角形OHI、等腰三角形OJK、…，在这若干个等腰三角形中，要找到底边长为2m的等腰三角形OBC，几乎不可能的.

图2

三、图形重组找规律

如何将等腰三角形OBC找出来呢？我们进行了以下的尝试：将所有等腰三角形重新组合.方法是：以定点O为旋转中心，旋转△OFG、△OHI、△OJK、…，使它们都以ON为对称轴，分别得到等腰三角形OF′G′、等腰三角形OH′I′、等腰三角形OJ′K（′、…（，如图3（要求：所作两平行线间的距离越大越好，、、（对应的弦长FG、HI、JK均接近并大于2m，后面的证明、作图都是在满足这一要求的范围内进行研究和操作的，这样做的目的将在后面作出说明）.

图3

在这个重新组合的图形中，位于对称轴ON左边的所有等腰三角形底边上的端点F′、H′、J′、…是否在一条直线上呢？如果是，那么根据轴对称图形的性质得，位于对称轴ON右边的所有等腰三角形底边上的端点G′、I′、K′、…也在一条直线上.这样，顺利得到△OBC旋转后所得到的图……