关于线性子空间基的一种求解方法

张立卓

(对外经济贸易大学统计学院, 北京100029)



关于线性子空间基的一种求解方法

张立卓

(对外经济贸易大学统计学院, 北京100029)

讨论了线性子空间基的一种求解方法.

线性子空间； 基； 维数

众所周知，关于线性子空间基的求解方法要视具体情况而定，本文拟通过下述两例探讨求解线性子空间基的一种方法.

定义1设W是数域K上线性空间V的非空子集，如果对任意α,β∈W,k∈K，有

α+β∈W，且kα∈W，

则称W是V的一个线性子空间.

定义2设W是数域K上线性空间V的一个子空间，W中的向量组α1,α2,…,αr如果满足：

(i) α1,α2,…,αr线性无关；

(ii)W中每一向量都可由α1,α2,…,αr线性表示，则称α1,α2,…,αr是W的一个基.

定义3设W是数域K上线性空间V的一个子空间，W的一个基所含向量的个数称为W的维数，记作dimW.

定理1n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

定理2数域K上n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A的特征多项式的全部复根都属于K，并且A的每个特征值的几何重数(特征子空间的维数)等于其代数重数(特征值在特征多项式的根的重数)[1].

定理3如果B是主对角元两两不等的对角矩阵，那么与B可交换的矩阵一定是对角矩阵[2].

证设B=diag{b1,b2,…,bn}，其中b1,b2,…,bn两两不等，如果n阶矩阵A=(aij)与B可交换，即AB=BA，以AB(i;j)表示AB的第i行、第j列的元素，于是

AB(i;j)=BA(i;j)(i,j=1,2,…,n)，

即aijbj=biaij，也即aij(bj-bi)=0，又bj≠bi(i≠j)，因此aij=0(i,j=1,2,…,n,i≠j)，从而A=(aij)为对角矩阵.

定理4设V是数域K上一个线性空间，如果dimV=n，则V中任意n个线性无关的向量都是V的一个基.

例1设Mn(R)是实数域R上全体n阶矩阵按照通常的加法和数量乘法构成的实数域R上的线性空间

(i) 设A=(aij)∈Mn(R)，如果AF=FA，证明A=an1Fn-1+a(n-1)1Fn-2+…+a11E；

证(i) 设A的列……