一类非线性振动方程的定性分析

李　鹏，窦霁虹，仲文林，卢克英

(西北大学 数学学院, 陕西 西安　710127)



·数理科学·

一类非线性振动方程的定性分析

李鹏，窦霁虹，仲文林，卢克英

(西北大学 数学学院, 陕西 西安710127)

对一类非线性振动方程进行定性分析与探究,并推广了此类方程。采用行列式-迹法则、小参数扰动、首次积分和Bendixson-Dulac判别法。证明了方程对任何参数都不存在闭轨线和奇异闭轨线,分析了方程在特殊情形下奇点个数、类型。丰富了已知结果, 使其适用范围更广。

振动方程; 定性分析; 闭轨线; 极限环;Dulac判别法

文献[1]给出了一类由微分方程

(1)

(2)

在mb≠0时,对任何参数都不存在闭轨线和奇异闭轨线。文献[2]中未分析式(2)平衡点的类型及其稳定性;也未考虑b=0时,系统极限环的存在性。本文首先在方程(2)的基础上推广并得到一类特殊振动方程满足适当条件后,仍然具有文献[2]的结论；其次，针对文献[2]中的不足进行补充。这一探究更加丰富振动方程理论，对于物理学中机械振荡和周期振荡的研究具有深刻意义。

引理1[3]设G为单连通域,若存在一次可微函数B1(x,y)与F(x,y),使

在G中保持常号,且不在任何子区域中恒等于零,则方程不存在全部位于G中的闭轨线和奇异闭轨线。

引理2[2](Bendixson-Dulac判别法)若在单连通域G内存在函数B(x,y)∈C1(G),使

且不在G的任何子区域内恒为零,则系统不存在全部位于G内的闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线。函数B(x,y)称为Dulac函数。

引理3[2]设有系统

其中X和Y在O(0,0)邻域内解析,O(0,0)为其对应线性系统的中心点,若在O(0,0)邻域S(0,δ)内存在此系统的一个连续的首次积分,则O(0,0)必为中心。……