关于模p的一类同余方程解的个数

张文鹏

(西北大学 数学学院, 陕西 西安　710127)



【数理科学·数论专栏研究】

关于模p的一类同余方程解的个数

张文鹏

(西北大学 数学学院, 陕西 西安710127)

设p是一个奇素数且满足3|(p-1)。对任意整数k1及k2且满足(k1k2,p)=1,设N(k1,k2;p)表示同余方程k1x3+k2y3≡1modp的解的个数,其中0≤x,y≤p-1。该文的主要目的是利用解析方法,高斯和的性质以及S.Chowla,J.Cowles和M.Cowles等人的重要工作研究N(k1,k2;p)的计算问题,并给出它的一个精确的计算公式,同时提出几个未解决的问题。

素数;三次同余方程;整数解的个数;计算公式;解析方法;高斯和

本文的主要目的也是考虑一个类似的堆垒数论问题:设p是一个奇素数且3|(p-1)。对任意整数k1及k2且(k1k2,p)=1，设N(k1,k2;p)表示同余方程

k1x3+k2y3≡1modp

在模p的完全剩余系中的解的个数,即0≤x,y≤p-1。那么人们自然会问,是否存在N(k1,k2;p)的一个确切的计算公式?

关于这一问题,至今似乎没有人直接研究,至少我们没有在现有的文献中看到这样的问题。当然,这一问题是有意义的,至少可以反映出三次剩余的深刻性质。

为叙述方便,我们先给出模p三次剩余的定义。设a是与p互素的整数,如果同余方程x3≡amodp有解,则称a为模p的三次剩余;否则称a为模p的三次非剩余。本文利用三次剩余的概念,解析方法以及S.Chowla等人的深刻结果研究了N(k1,k2;p)的计算问题,并给出了一个简单的计算公式。具体地说也就是证明了下面的定理。

定理1设p为奇素数且满足3|(p-1),那么对任意整数k1及k2且(k1k2,p)=1，有

N(k1,k2;p)=p+d-2;

N(k1,k2;p)=p+1+d;

几点注释关于本文中所讨论的问题,这里想说明4点:

1)在本文中只考虑素数p满足3|(p-1)的情况,对于素数p满足(3,p-1)=1的情况而言,由于当x通过模p的一个完全剩余系时,x3也通过模p的一个完全剩余系,所以我们的问题转化为同余方程k1x+k2y≡1modp的解,此时显然有N(k1,k2;p)=p。……