关于奇完全数素因数的指标

权双燕

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院, 陕西 汉中　723000)



【数理科学·数论专栏研究】

关于奇完全数素因数的指标

权双燕

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院, 陕西 汉中723000)

对于正整数a, 设δ(a)是a的所有约数之和。如果正整数n满足δ(n)=2n,则称n是完全数。设n是奇完全数,p是n的素因数,r是p在n的标准分解式中的次数。此时,I(p)=δ(n/pr)/pr称为奇完全数n的素因数p的指标。设q是奇素数,s是正整数。文中运用初等数论方法证明了:如果I(p)=qs,则s是适合s≥22的偶数。

奇完全数;素因数;指标

1　预备知识

设N是全体正整数的集合。对于正整数a,设δ(a)是a的所有约数之和。如果正整数n满足

δ(n)=2n,

(1)

则称n是完全数。由于奇完全数的存在性是数论中长期未能解决的著名难题,所以有关奇完全数的性质一直是引人关注的研究课题[1]。

设n是奇完全数。已知n的标准分解式必为以下形式

n=παp12β1…pk2βk。

(2)

其中π,p1,…,pk是不同的奇素数,α,β1,…,βk是正整数,而且π≡α≡1(mod 4)。这里的π称为奇完全数n的Euler因子。设p是奇完全数n的素因数,r是p在n的标准分解式中的次数。此时

(3)

由于δ(a)是积性函数[2],所以从式(1)和式(3)可得

(4)

(5)

2008年,J. A. B. Dris[3]首先将I(p)称为奇完全数n的素因数p的指标,并且证明了I(p)≥3。此后,文献[4-7]分别给出了I(p)较好的下界。

设q是奇素数,s是正整数。2012年,陈凤娟和陈永高[5]证明了:如果I(p)可表成

I(p)=qs,

(6)

则必有s≥5。最近,付瑞琴和杨海[8]证明了:如果I(p)满足式(6),则s必为适合s≥8的偶数。本文根据高次Diophantine方程的经典结果,运用初等数论方法进一步证明了以下结果:

定 理如果I(p)满足式(6),则s必为适合s≥22的偶数。

2　定理的证明

首先引入两个有关奇完全数和高次Diophantine方程的已知结果: