二阶半环生成的簇

张　可,任苗苗,邵　勇

(西北大学 数学学院,陕西 西安　710127)



·数理科学·

二阶半环生成的簇

张可,任苗苗,邵勇

(西北大学 数学学院,陕西 西安710127)

该文研究一些二阶半环生成的簇，先分别解决了这些簇的字问题, 进而证明这些簇是有限基底的, 并且给出了这些簇的方程基底。 然后, 解决了由所有这些二阶半环所生成的簇的字问题, 进一步, 给出了此簇的方程基底。

半环; 等式; 基底; 簇

设K是一个代数类。若K对子代数, 任意直积和同态像封闭, 则称其为簇。由Birkhoff定理知一个代数类是簇当且仅当它是满足某个等式集的代数的全体。设V是簇,如果存在V满足的一个有限等式集Σ使得V满足的每一个等式可由Σ演绎, 则称V是有限基底的(简称FB)。否则, 称V是非有限基底的(简称NFB)。设A是代数。若A生成的簇HSP(A)是FB[NFB],则称A是FB[NFB]。例如,每一个二元素的代数,有限的群,有限的环, 有限的格, 可换半群都是FB。第一个NFB的有限半群的例子是由Perkins在文献[1]中给出的。Dolinka在文献[2]给出了第一个有限的NFB半环的例子。

设(S,+,·)是(2,2)-型代数。若S满足下列条件:

1)(S,+)是可换半群;

2)(S,·)是半群;

3)∀a,b,c∈S) a·(b+c)=a·b+a·c,(b+c)·a=b·a+c·a，

则称(S,+,·)是半环。易见,半环的全体作成一个簇,记为SR。设X是一个可数无限集,X+是X上的自由半群,X*是X上的自由含幺半群。显然,可将半环等式记作如下形式u≈v,其中

u=u1+u2+…+uk,

v=v1+v2+…+vl,ui,

vj∈X+,1≤i≤k;1≤j≤l。

设S是半环。若对于任意的代换φ:X→S,φ(u)=φ(v),则称S满足u≈v,记为Su≈v。

许多学者对半环进了研究[2-13]。文献[10]引入了半群的闭子半群的概念，进而给出了所有乘法半群是带, 加法半群是半格的半环作成的簇的自由对象的模型。其后,文献[3, 5-6]证明了上述簇的子簇格是分配格,且有78个元素,此外,每一个子簇都是有限基底的,并且是有限生成的。……