分类

方永明

作为数学中的一个重要思想，分类思想在近年初中数学学业水平考试压轴题中的考查频率还是较高的，以下就分三点说说分类思想在作图法探究多边形存在性问题中的应用：

一、已知直角三角形的两顶点，探究第三个顶点

例1（云南2015中考第23题（2）问）：如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

分类讨论：

①若以∠BCP为90°，则该点为过点C作BC的垂线与对称轴的交点，即如图中的点P1；

②若以∠CBP为90°，则该点为过点B作BC的垂线与对称轴的交点，即如图中的点P2；

③若以∠BPC为90°，则该点为以BC为直径的圆与对称轴的交点，即如图中的点P3、P4。

二、已知等腰三角形的两顶点，探究第三个顶点

例2（2015烟台24题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与⊙M相交于A，B，C，D四点，期中A，B两点的坐标分别为（-1，0），（0，2），点D在x轴上而AD为⊙M的直径，点E是⊙M与y轴的另一个交点。过劣弧BC的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.

（3）问：在此抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

分类讨论：

①若以点M为顶角顶点，则该点为⊙M与对称轴的交点，即如图中的点Q1，Q2

②若以点C为顶角顶点，则该点为以点C为圆心，CM为半径的圆与对称轴的交点，即如图中的点Q3；

③若以点Q为顶角顶点，则该点为线段CM的垂直平分线与对称轴的交点，即如图中的点Q4。

三、已知平行四边形的三个顶点，探究第四个顶点。

例3：如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B。抛物线经过A、B，并与x轴交于一点C，顶点为P。

（2）问：在图中求一点Q，使Q、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标。

分类讨论：

①若以线段AB为对角线，则该点为点C关于线段AB的中点的对称点，即如图中的点Q1；

②若以线段AC为对角线，则该点为点B关于线段AC的中点的对称点，即如图中的点Q2；

③若以线段BC为对角线，则该点为点A关于线段BC的中点的对称点，即如图中的点Q3。

对于此类题的解答，只有应用分类思想，对可能的情况进行逐一讨论，才能尽量避免漏解。

参考文献：

[1]人教版初中数学教材 《2015云南中考真题超详解（数学）》.