变分法在二维几何约束磁墙中的应用

雷玉琼， 谷艳华

(1.郑州城市职业学院 基础部，河南 郑州 452370; 2.中原工学院 商务信息学院，河南 郑州 451191)



变分法在二维几何约束磁墙中的应用

雷玉琼1， 谷艳华2

(1.郑州城市职业学院 基础部，河南 郑州 452370; 2.中原工学院 商务信息学院，河南 郑州 451191)

主要研究二维空间中，几何约束模型存在能量解和最小能量解，利用变分方法证明了二维几何约束磁墙能量模型存在最小能量解，利用山路引理证明了二维几何约束磁墙能量模型存在一个非平凡解.一维几何约束磁墙的理论研究为铁磁原子点接触大型磁电阻的研究提供了一个简单自然的解释，二维几何约束磁墙的理论研究为更高维磁墙的研究提供了新的方法.

几何约束磁墙模型；变分法；山路引理

1　研究背景

在磁场研究中的主要问题之一是：在纳米尺度下，微观磁结构是怎样对应几何约束条件的.在没有被约束的系统中，例如，BLOCH指出在整块铁磁中，墙结构由能量交换和各向异性能量竞争决定[1-2].BLOCH墙的精确结构已经被LANDAU和LIFSHITZ计算出. 在铁磁薄膜中NEEL指出，双极反应导致了一种新类型的墙，也就是著名的Neel Walls，在Neel墙中，墙的结构由交换各向异性和双极能量之间的竞争所决定.在一维空间中，几何约束磁墙的结构和性质在Bloch Walls(布洛赫墙) 和Neel Walls(奈耳墙)中已经得到理论上的研究， 它们不同于未被约束的几何磁墙，所以除了Bloch Walls(布洛赫墙)和Neel Walls(奈耳墙)外，几何约束磁墙包含了一种新类型的磁墙[3-5]. 特别地，当限制的特征长度很小的时候，约束磁墙的宽度也相应变得很小. 这实际上是一个原子点接触，这为铁磁原子点接触大型磁电阻的研究提供了一个简单自然的解释[4-5]. 事实上，这种几何约束磁墙对一个点接触电阻的贡献比Bloch Walls或Neel Walls更大[4,6].

在文献 [4] 中,一维几何约束磁墙模型的能量泛函是

与能量泛函相对应的欧拉-拉格朗日方程是

S(x)u″(x)+u′(x)S′(x)-S(x)F′(u(x))=0,-

(1)

u(-)=u1,u()=u2,

(2)

二维几何约束磁墙模型的研究是建立在一维几何约束磁墙的基础上的，但是它们的研究意义是不同的. 二维几何约束磁墙模型的能量泛函是

从物理的角度来看，一维几何约束磁墙描述的是在两个不同位置之间简单的相变过程，而在认为边界是周期的情况下二维几何约束模型可以描述为一种磁晶体结构，因为不同的晶体放在一起可以看成具有相同的边界.在微观的尺寸下，磁晶体结构可以分成几个磁畴，在每个磁畴中，原子的运动是排列成行的，但从一个磁畴到另一个磁畴的排列方向是不同的[6-7].因此，这种模型结构对研究磁晶体结构起了重要作用.如果磁化在一种晶体状态下，中心的能量损失是以很低的频率进行的，这个中心是磁滞回线的一个区域，这会发生磁滞损失[8-10].因此，这种模型对研究磁场中原子的运动和能量的损耗有很大意义[11].

2　主要结果和证明

二维几何约束磁墙模型的能量泛函为

为了书写和证明的方便，本文中的符号与山路引理中的符号一致.

定理1(PS条件)若X是希尔伯特空间，I∈C1(X,R)对在X中的任意序列{un}，当n→时，I(un)→α，使得序列{un}的一个子序列在X中是强收敛的.

证明设{un}是引理中描述的一个子序列，则

(3)

∫ΩS(x)(2un·v+F′(un)v)dx,

(4)

根据(3)式，由极限的知识可以得到

泰勒展开可以得到

(5)

在(4)式中,令v=un可得

(6)

将(5)式、(6)式相加可得

其中,C,C1,C2都为常数.由此可知，{un}在W1,2(Ω)中是有界的.所以{un}在W1,2(Ω)中存在弱收敛子列，子列不妨仍记为{un}，可以得到un弱收敛于u，又因为W1,2(Ω)紧嵌入到L2(Ω)，所以在L2(Ω)中un→u，在(4)中，令n→得

∫ΩS(x)(2u·v+F′(u)v)=0,

(7)

(4)式减去(7)式得

∫ΩS(x)(2(un-u)·v+(F′(un)-F′(u))v)dx≤εn‖v‖W1,2(Ω)，

取v=un-u，可得

因为{un}在W1,2(Ω)中是有界的，所以当n→，εn→0时，，即在W1,2(Ω)中，un→u.此定理得证.

定理2(爬山引理)若X是希尔伯特空间，I∈C1(X,R)满足PS条件.除此之外，泛函I也必须满足以下条件：

1)I(0)=0；

2)存在常数a,R>0，使得当‖u‖X=R，I(u)≥a；

3)存在一个元素v∈X，使得当‖v‖X>R时，I(v)≤0.

定义从X的中心到v的路径为

2)由二维嵌入定理知

又因为

所以，

3)因为

取u=-C(C>0)，则I(u)=∫ΩF′(-C)S(x)dx=-C∫ΩF′S(x)dx.

又因为F′>0，S(x)>0，所以，当C→+时，I(u)→-.即存在一个元素v∈X，使得‖v‖X>R时，I(v)≤0，所以3)得证.由定理2知：是I的一个临界值，同时也是方程的一个解.

本文用变分法证明了二维几何约束磁墙模型存在最小能量解，而这种约束磁墙代表一种磁晶体结构，具有周期边界的磁晶体，在施加外磁场的时候，使得磁体的各向异能最小，中心的能量损失是以很低的频率进行.这种模型对研究磁场中原子的运动和能量的损耗有重要意义[11].

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Application of Variational Method in Two-dimensional Geometric Constraints Magnetic Wall

LEI Yuqiong1, GU Yanhua2

(1.Department of Basic, City Career Academy of Zhengzhou， Zhengzhou 452370, China;2.CollegeofInformationandBusiness,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou451191，China)

Provides a simple and natural explanation for the large magnetoresistance observed recently in ferromagnetic atomic point contacts. Shows that geometrically constraints of magnetic wall model exists minimum energy solution and energy solution on the two-dimensional space. Proves that two-dimensional geometric constraint magnetic wall energy model has a minimum energy solution and energy solution by the variational principle of method. Furthermore, mountain lemma proves two-dimensional geometric constraints of magnetic wall energy model has a nontrivial solution. Provides new methods for the problems of multidimensional magnetic wall model.

geometric constraints of magnetic wall model； calculus of variations； mountain lemma

2016-03-29

河南省基础与前沿研究项目(112300410054);河南省科技攻关项目(112102210233)

雷玉琼(1984—)，女，河南信阳人，郑州城市职业学院基础部讲师.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.009

O175

A

1007-0834(2016)03-0031-04