一种设计近似完全重构非均匀余弦调制滤波器组的新算法

蒋俊正 江 庆 欧阳缮



一种设计近似完全重构非均匀余弦调制滤波器组的新算法

蒋俊正*江 庆 欧阳缮

(桂林电子科技大学信息与通信学院 桂林 541004)

该文提出了一种设计近似完全重构非均匀余弦调制滤波器组的新算法。针对现有合并算法中非均匀滤波器组性能无法直接控制优化的缺点，新算法把非均匀滤波器组的设计问题归纳为一个关于原型滤波器的无约束优化问题，其中目标函数是非均匀滤波器组传递失真与原型滤波器阻带能量的加权和，最后利用线性迭代算法求解该优化问题。理论分析和数值实验表明，新算法获得的非均匀余弦调制滤波器组比现有算法设计的滤波器组整体性能更佳。

非均匀滤波器组；余弦调制；近似完全重构；线性迭代算法；无约束优化

1 引言

多速率滤波器组在自适应滤波、语音图像编码和图像处理等方面取得了广泛的应用。设计一般的滤波器组需优化所有分析滤波器和综合滤波器，而调制滤波器组只需优化设计原型滤波器，这大大降低了设计的复杂度。调制滤波器组目前主要有两类，分别是余弦调制滤波器组[3,16]和离散傅里叶变换调制滤波器组[2,8,14,15,17]。两种调制滤波器组相比较而言，余弦调制滤波器组是余弦调制而来，更适用于处理实值信号。

发展至今，余弦调制滤波器组的研究成果主要集中于设计均匀滤波器组。然而实际应用中需要具备非均匀频率划分特性的滤波器组，即非均匀滤波器组。比如在图像去噪中需要对图像频谱进行非均匀的合理划分从而更有效地实现噪声去除[9]。文献[10]首次提出通道非均匀正交镜像滤波器组的概念与构造。文献[11]创新性地提出通过合并均匀滤波器组来实现非均匀滤波器组的理论，这是非均匀滤波器组设计的一大进步。文献[12]利用子带合并的方式成功构建了近似完全重构的非均匀余弦调制滤波器组，然而他们的设计算法是先获得均匀滤波器组后直接进行子带合并，导致非均匀滤波器组的性能是由所给均匀滤波器组所完全决定。文献[13]在文中利用凯瑟窗函数法获得3 dB截止频率为的原型滤波器后，同样也是通过直接合并的方式获得非均匀滤波器组。文献[18]采用树结构的方式构建非均匀滤波器组，但这种结构存在自身的缺陷：所获得的非均匀滤波器组系统延迟较长。文献[19]讨论了一种基于直接合并的方法来构建完全重构的非均匀滤波器组的设计算法，但是该算法需要增加额外的调制模块来消除因合并通道时产生的虚假频率响应。

为了解决现有合并算法中非均匀滤波器组性能无法直接控制优化的不足，本文将非均匀滤波器组的设计问题归纳为一个关于原型滤波器的四次无约束优化问题，通过优化目标函数来直接控制非均匀滤波器组性能。众所周知，直接求解一个关于原型滤波器四次的目标函数是比较困难的，因此本文采用线性迭代算法来求解该问题。通过先给定一个最初原型滤波器，将目标函数转换为关于原型滤波器的凸二次函数后，迭代求解原型滤波器。对于多载波调制系统[17]，超高速数字传输系统[20]等应用而言，希望滤波器组系统的重构误差尽可能的小。在系统实现中，普遍认为重构误差应小于量化误差，这样系统的应用就不会受到自身重构特性的影响。例如，多载波调制系统[17]将重构误差的上限设置为小于。通过仿真实验可得，本文算法获得的非均匀滤波器组比现有算法设计所得的滤波器组重构误差更小，可达量级，能够完全满足应用要求。

2 非均匀余弦调制滤波器组的基本理论

图1 K通道非均匀滤波器组的一般结构

(2)

根据文献[12]所提出的等价原理，非均匀余弦调制滤波器组可以通过直接合并均匀余弦调制滤波器组的子带获得，合并公式为

(4)

(6)

下面建立非均匀余弦调制滤波器组的子带滤波器与原型滤波器的函数关系。令为原型滤波器的系数，其频率响应为，其中,为虚数单位。根据式(3)-式(6)，我们可以得出非均匀余弦调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器与原型滤波器的关系式为

(8)

其中，

(10)

结合式(2)，式(7)和式(8)，我们可以得出非均匀余弦调制滤波器组传递函数与原型滤波器的关系式，即

(12)

一个完全重构的滤波器组必须满足条件：滤波器组的传递函数为一个纯延迟且混叠失真为零。当上述条件近似成立时，滤波器组是近似完全重构的。在实际应用中，近似完全重构的滤波器组比完全重构的滤波器组拥有更佳的性能[14]，且计算的复杂度更低，因此本文研究近似完全重构的非均匀余弦调制滤波器组的设计。

3 非均匀余弦调制滤波器组的设计

在调制滤波器组的设计中通常需要关注滤波器组的重构特性和原型滤波器的频率特性。衡量滤波器组重构特性的指标是重构误差，由传递失真和混叠失真联合决定；衡量原型滤波器频率特性的性能指标有原型滤波器的通带平坦性和阻带衰减[15]。

考虑到滤波器组的混叠失真是关于原型滤波器的复杂非线性函数，直接控制较为困难，一般用原型滤波器的阻带能量来间接控制，阻带能量的表达式为

小的传递失真和低的阻带能量可以保证获得整体性能较好的滤波器组。因此本文将非均匀滤波器组的设计问题归纳为一个无约束的优化问题，目标函数就是非均匀滤波器组传递失真和原型滤波器阻带能量的加权和，表示为

(15)

(17)

(19)

第1步 初始化原型滤波器，即设计一个长度为的低通滤波器；

相比于文献[12]算法采用直接合并的方法，本文算法增加了一个优化过程，计算量有所增加。本文中，通过迭代方法来设计一个整体性能良好的原型滤波器，单步迭代中原型滤波器有闭式解，计算复杂度来源于单步迭代中的计算量，包括矩阵求逆和矩阵-向量相乘，以及向量和矩阵的计算量。总体而言，所增加的计算复杂度较小。

另外，类似于文献[15]中算法，本文采用的线性迭代算法是一种修正牛顿法。可以证明，本文算法是收敛的[15]。

4 仿真结果与分析

在这一小节将给出本文算法与现有算法的仿真对比，所有的仿真都在相同的运行环境下进行。

例1 设计一个非均匀余弦调制滤波器组：，分别采用文献[12]算法和本文方法设计。在文献[12]算法，通过子带合并的方式将一个均匀滤波器组转换成一个非均匀滤波器组。其中，均匀滤波器组采用文献[16]中的算法设计，通道数为16，原型滤波器长度为256。在本文设计算法中，其相关参数为，采用直接优化的方式来设计该非均匀滤波器组。为了比较的公平性，本文算法迭代所用的初始滤波器，与文献[12]算法用于合并的均匀滤波器组的原型滤波器相同。图2和图3分别给出了两个非均匀余弦调制滤波器组的原型滤波器的幅度响应和分析滤波器组的幅度响应。从图2可以看出本文算法与文献[12]算法所得的原型滤波器都具有较好的频率特性，具有高的阻带衰减，小的通带波动。图3说明了非均匀余弦调制滤波器组的每个分析滤波器都保留了原型滤波器良好的频率特性。图4给出了本文算法的目标函数值随迭代次数的变化曲线。从图4我们可以发现目标函数值在经过几次迭代之后就趋于不变，即验证了本文优化算法的快速收敛性。表1分别陈列了两个非均匀滤波器组的传递失真、混叠失真、重构误差以及其原型滤波器的阻带衰减。从表1可以看出，本文算法设计所得的非均匀滤波组比文献[12]设计所得的滤波器组具有更好的整体性能，其重构误差降低了一个数量级。

图2 原型滤波器的幅度响应

图3 非均匀分析滤波器组的幅度响应 图4 目标函数随迭代次数的变化曲线

表1本文算法与文献[12]算法的性能对比

表2本文算法与现有算法的性能对比

5 结束语

本文围绕非均匀余弦调制滤波器组的设计问题，提出了基于直接优化的设计算法。在该算法中，把非均匀滤波器组的设计问题归结为一个关于原型滤波器的四次优化问题，其目标函数是非均匀滤波器组传递失真与原型滤波器阻带能量的加权和，最后利用线性迭代方法求解。仿真结果表明，相比于现有设计算法，本文算法能够设计得到整体性能更好的非均匀余弦调制滤波器组。

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Novel Method for Designing Near-perfect-reconstruction Nonuniform Cosine Modulated Filter Banks

JIANG Junzheng JIANG Qing OUYANG Shan

(School of Information and Communication, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

This paper proposes a new algorithm to design near-perfect-reconstruction nonuniform Cosine modulated filter banks. Due to the infeasibility of directly controlling the performance of Nonuniform Filter Banks (NUFBs) in the existing combined algorithms, the design problem boils down to an unconstrained optimization problem with respect to the Prototype Filter (PF), which minimizes a weighted sum of the transfer function distortion of the NUFBs and the stopband energy of the PF. The optimization problem can be efficiently solved by utilizing linearizing iterative approach. The theoretical analysis and numerical experiments are carried out to show that compared with the existing methods, the proposed method can lead to NUFBs with better overall performance.

Nonuniform filter banks; Cosine modulation; Near-perfect-reconstruction; Linearizing iterative approach; Unconstrained optimization

TN911.7

A

1009-5896(2016)09-2385-06

10.11999/JEIT151260

2015-11-25；

2016-04-27；

2016-07-19

国家自然科学基金(61261032, 61371186)，广西自然科学基金(2013GXNSFBA019264)

The National Natural Science Foundation of China(61261032, 61371186), Guangxi Natural Science Foundation(2013GXNSFBA019264)

蒋俊正 jzjiang@guet.edu.cn

蒋俊正： 男，1983年生，副教授，硕士生导师，研究方向为多速率滤波器组理论与应用、通信信号处理.

江 庆： 男，1991年生，硕士生，研究方向为多速率滤波器组的设计及应用.

欧阳缮： 男，1960年生，教授，博士生导师，研究方向为自适应信号处理、通信信号处理.