如何让数学专业大一新生顺利进入《数学分析》的学习

刘素红

(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡721013)



如何让数学专业大一新生顺利进入《数学分析》的学习

刘素红

(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡721013)

针对数学专业大学一年级学生学习中存在的问题，采用案例分析方法，给出了如何逐步化解难点、掌握重点的具体措施，最终使学生顺利进入《数学分析》的学习，用以指导教学.

数学分析； 极限； 确界； 任意性； 存在性

1　引　　言

《数学分析》是数学专业的大学生必修专业基础课程，这门课程也成为大多数学生进入大学校门后第一道难迈的坎和大学学习的当头一棒.解决这个问题，教师不但要有广博精深的知识，更要有有效可行的方法[1-3].本文以具体的案例分析指出，如何让数学专业大学一年级学生顺利进入《数学分析》的学习.

大一新生刚刚结束了长期的应试解题训练，《数学分析》对他们的感觉完全不同于已经学习了多年的数学：中学阶段的数学是要求写出精确过程、解出唯一答案的几何证明与代数计算，而在大学，《数学分析》是抽象的、模糊的文字性描述.这就严重冲击了学生对数学的精准性、具体可操作性特点的理解,感觉学习这门课程无从下手，甚至有的时候还会出现高中知识与大学知识相悖的困惑.这种感觉源于两点：一是高中阶段过分强调程序化、公式化、模式化的知识应用训练,弱化了知识的源头与理解；二是从高三年级到大学一年级学习方法、思维方式的过渡没有做好,也就是，中学学习与大学学习之间的衔接没有做到位.在高三年级阶段教师无力、学生无心、学校无责为学生做这一衔接，这一衔接责无旁贷地落在了大学老师肩上，并且是在大学学习刚开始的阶段就要做这项工作，否则严重影响学生后续课程的学习.

一大部分学生学习《数学分析》时,怯步于第一章.事实上，对刚刚迈出高中门槛的他们而言,最难的就是入门、就是第一章.第一章让学生感到困难、困惑、无法捕捉.其中的两个定义“确界”与“极限”是产生这些感觉的核心因素,这两个定义恰恰也是本章、乃至本书的核心定义.所以对这两个定义的理解程度、掌握程度直接导致学生对这门课程的理解与掌握程度.这两个定义中的关键词又是另外两个概念“任意”与“存在”,充分、准确地理解这两个概念, 就能理解透彻“确界”与“极限”、消除第一章困惑,《数学分析》学习之门就自然被打开.

“任意”与“存在”这两个词,对于学生来说并不陌生,在高中阶段有一定程度的认知，教师可在此基础上让学生逐渐加深理解,最终达到透彻理解.本文结合具体案例指出如何让学生循序渐进地理解、掌握这两概念.

2　案　　例

预例2.1判断下列命题真假,并写出否命题、判断否命题真假.

1.本班任意一个(所有、每一个、一切)同学都是通过高考录取到宝鸡文理学院上学的.

2.本班存在平行B志愿被录取到宝鸡文理学院的同学.

3.本班不存在志愿表上填写“不服从调剂”的同学.

先让同学自己分析命题所表达的意思，然后做出判断.

命题1是一个真命题，其否命题为：本班存在某个同学不是通过高考录取到宝鸡文理学院上学的.经调查，否命题是假命题.

对于命题2

其真假需要分析调查.方法是，只要能找到一个同学是通过B志愿被录取来的，这个命题就是真命题；如过每一个/任何一个/所有同学都不是B志愿被录取的，那么命题就是假命题.

命题2的否命题为：本班不存在B志愿被录取到宝鸡文理学院的同学.进一步也可以说，本班的任何一个/每一个/所有同学都不是B志愿被录取到宝鸡文理学院的.再判断其真假.方法是与原命题方法相同.

对于命题3，可以设问：能否换一种说法，即

3 ′. 本班任意(所有、一切)同学的志愿表上都填写“服从调剂”.然后再写出其否命题：本班不是所有/不是一切同学的志愿表上都填写“服从调剂”；或者，本班有些同学/存在某个同学的志愿表上填写“不服从调剂”.其真假判断方法同上.

案例2.1[4-5]设a,b∈.证明若对任何正数ε有a

此命题的关键是理解,而非证明.理解了命题,才能接受它所传递的信息,才能正确应用.首先,让同学们任意给出两个具体实数a,b，再找出满足a

abε1ε2ε3ε4…a

通过此例,加强对“任何正数ε”的理解,为后面极限概念做铺垫.

证(反证法)假设a≤b不成立.据全序性a>b,则a-b>0,取ε=a-b.由a

在这里一定要给学生强调指出：找到了一个ε=a-b>0,使a

案例2.2对“确界”概念的理解(以“上确界”为例).

分为几个步骤理解“上确界”的概念.

1. 首先理解“上界”的概念

上界：设数集S⊆R,实数M∈R.若对一切x∈S,都有x≤M,则M为集合S的一个上界.

结合具体例子步步设问，层层递进理解

对于(i)学生能够用定义验证,可进一步提出问题：上界是否唯一？若不唯一,这些上界构成的集合有无最大、最小值？

对于(iii)学生能够容易回答,给出的数都不是上界,也能根据定义说明原因,至于无上界的原因可能就不好回答.这时候可以指导学生这样找到答案：假设数M是集合S的任意一个上界,取x0=[M]+1,显然x0∈S,且x0>M,也就是说,集合S中存在数x0大于上界M,出现矛盾.即任何数M都不是集合S的上界,从而S无上界.

形象地说, 若用竖直向上的数轴上的点表示集合S中的数和其上界M,则S中的数均标在点M的下面或最多与点M重合, 点M上方不会有集合S中的数.

2. 理解“上确界”的概念

上确界：简言之,最小的上界.上界中的最小值,是唯一的.

在(i)中10是上确界,因为10是最小的上界；

在(ii)2)中1是最小的上界,从而是上确界；

在(iii)中,因为无上界,故没有上确界.

以上仅是具体简单的集合,容易利用简易的定义解决,那么对于抽象的集合,此定义就无能为力.下面给出上确界的分析定义：

定义2.1[4]若数η满足：(i)对一切x∈S,都有x≤η(即η是数集S⊆R的上界)；(ii)对于任何小于η的数α,存在x0∈S,使得x0>α(即任何小于η的数α都不是集合S的上界,从而η是最小的上界).则称数η是数集S的上确界,记作η=supS.

其等价叙述为:若数η满足(i)对一切x∈S,都有x≤η；(ii)对于任何正数ε,存在x0∈S,使得x0>η-ε.则称数η是数集S的上确界,记作η=supS.

显然此定义中的ε其实就是前者定义中的η-α,可以是任意小的正数.

案例2.3对“数列极限”概念的理解.

《数学分析》中数列极限的概念(即“ε-N”定义)：

对于此定义的要求是理解、掌握、熟练应用其验证数列极限.理解是难点,应用是重点.教材首先是模式化的应用″ε-N″定义证明数列极限,这一安排很好.通过模式化的应用定义证明极限,使学生对此定义有一个初步的认识及尝试性的应用.在这一环节的教学中,重点是模式化的语言与步骤,难点是步骤中N的选取,一定要强调：定义中N的存在性,在证明具体题目时,这个N是要实实在在地找出来、算出来的.也就是这个存在的正整数N要用具体的式子表示出来,这样才能表达出它是确实存在的.N是通过计算,算出来、找出来的,而不仅仅是说其存在.举例说明:

1.首先对照定义，引导学生尝试着如何去找N

“ε-N”对∀ε>0存在N>0当n>N时an-a<εlimn→∞3n2n2-3=3∀ε>0N=?当n>N时3n2n2-3-3<ε

2. 其次指出N的不唯一性

对于N的解法,本例也可以这样处理,

或者也可以这样

3. 最后指出N与ε有关

让学生自己发现找到的N是关于谁的表达式子、与谁有关系.通过这个例子,学生对用“ε-N”定义证明数列极限的步骤和重点有一个初步的掌握,同时也看到,N的取值与ε有关,且N不唯一，为进一步从分析上、从几何上理解此定义奠定基础.

对此定义的理解教材上从ε的任意性、N的存在性两方面进行了详细阐述,这里不再赘述,仅从几何意义及等价定义上给出如何渐进地理解此定义.

在讲几何意义之前可进行下面的设问：

预例2.2

(i) a1,a2,a10,a11,a103,a210在什么位置？

(ii) 数列中哪些项在区间(a-ε,a+ε)=U(a;ε)内,有多少项？

(iii) 在区间(a-ε,a+ε)=U(a;ε)之外,至多有数列中的多少项？这些项中下标最大的是哪一项？

当这四个问题明确后，学生自然就能总结出来几何意义:

同时指出, (iv) 所表达的正是数列极限定义的等价定义：

3　结　　论

教学实践表明，抽象的概念采取结合具体案例及步步设问、层层深入的教学方法，教学思路及课堂气氛活跃、教学效果显著，学生能清晰地领会概念的外延、准确抓住概念的内涵、循序渐进地理解掌握概念的本质，再加以数形结合的方法及语言魅力，学生就能够更形象、更直观地领悟概念，更轻松、更灵活地应用概念.

这样一来，学生在《数学分析》的学习中，不仅没有了恐惧的感觉，而且思路会自然地由高中阶段过渡、上升到大学阶段，方法上由多写多练调整到多思多析，个人也会由具体算练型转化为逻辑分析型.《数学分析》的学习方法已经形成，《数学分析》学习之门逐渐打开.

这几则案例虽是针对第一章的两个具体概念-确界、极限设置，但其中涉及的方法对于后续内容的学习普遍适用.

4　后　　续

生：老师，为什么我们预习课时，对于概念看了一遍又一遍，总是感觉糊里糊涂的，觉得概念说得好模糊、好啰嗦？

师：那是因为你们看到的只是文字，不是逻辑.对于每一句话，用一个具体的案例去对应，最终一个完整的概念，看看你的案例是否成立.这时候再看看，概念是否多加了条件、是否啰嗦了.

生：如果没有具体的案例，课本上的概念还是很难理解. 老师分析了概念后，明白了许多; 老师结合案例讲了后，就觉得很简单；这时候再回过去看概念，才明白概念真是严密、无懈可击.

师：理论和实践相结合、抽象和具体相结合、数形结合、图文并茂等等这些方法是我们教与学中一直强调的方法，当一个抽象的东西在你眼前时，认识它的最有效方法就是案例法.

生：老师，我们通过自己设置案例，一步步掌握了《数学分析》中许多比较抽象的概念，嘻嘻，觉得《数学分析》其实并不那么深奥、那么难. 同时也发现，课本上有些说法也有不妥之处哦，比如……

师：呵呵，你们现在也敢怀疑课本了……

[1]刘燚.论现代数学教师的知识结构[J].数学教育学报，2012，21(3):243-244.

[2]高翔宇，张显，姚伟.高等数学教学中几个问题的探讨[J].大学数学，2014,30(2): 73-76.

[3]焦建民.数学分析课程入门教学的探讨[J].大学教育,2013,(16) :109-110.

[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[5]复旦大学数学系.数学分析[M].2版.北京：高等教育出版社，1983.

[6]北京师范大学.数学[M].北京：高等教育出版社，2012.

How to Make Mathematics Professional Freshman Learn the “Mathematical Analysis” Easily

LIUSu-hong

(Institute of Mathematics and Information Science, Bao ji University of Arts and Sciences, Bao ji Shaanxi 721013,China)

For freshman mathematics learning problems, using case analysis method, the concrete measures were offered how to gradually resolve the difficulty points and grasp the focal points, and ultimately students are able to study the “mathematical analysis” easily, then guide teaching.

mathematical analysis; limit; supremum; arbitrariness; existence

2015-09-06；[修改日期] 2016-02-16

宝鸡市科技局计划项目(2013R5-2)；宝鸡文理学院教学改革研究项目(JGYB15004)

刘素红(1970— )，女，硕士，副教授，从事教学法与复分析研究. Email:bjwlxylsh@yeah.net

G642

C

1672-1454(2016)03-0071-06