实数域上二阶实对称矩阵对的不可分解标准型

侯汝臣，　史江涛

(烟台大学数学与信息科学学院, 山东烟台264005)



实数域上二阶实对称矩阵对的不可分解标准型

侯汝臣，史江涛

(烟台大学数学与信息科学学院, 山东烟台264005)

本文刻画了所有的由两个二阶实对称矩阵构成的，在相似等价意义下互不相同的，不可分解矩阵对的相似标准型.

相似标准型； 实对称矩阵； 矩阵对

1　引　　言

定理如下给出了所有的由两个2×2实对称矩阵构成的既互不相似，又不可分解的矩阵对

若非特别指出，本文出现的矩阵都定义在实数域上.

2　实数域上二阶实对称矩阵对的相似标准型

定义 2.1设(A1,A2)和(B1,B2)都是由两个2×2矩阵构成的矩阵对.如果存在2×2可逆矩阵T， 使得

TA1T-1=B1,TA2T-1=B2，

则称矩阵对(A1,A2)相似于矩阵对(B1,B2).

容易证明，这里定义的相似关系是一种等价关系.

定义2.2设(A1,A2)是由两个2×2矩阵构成的矩阵对.如果存在2×2可逆矩阵T，使得TA1T-1,TA2T-1都是对角阵，则称(A1,A2)可分解或可相似对角化，否则则称(A1,A2)不可分解或不可相似对角化.

注意，即使A1,A2都可相似对角化，矩阵对(A1,A2)不一定可相似对角化.

下面引理易证.

引理2.1设(A1,A2)是由两个2×2实对称矩阵构成的矩阵对.如果其中一个是数量矩阵，则(A1,A2)可分解.

主定理的证明设(A1,A2)是由两个2×2实对称矩阵构成的矩阵对.首先，需知在什么条件下(A1,A2)不可分解.因为Ai是实对称矩阵，i=1,2,所以存在2×2实正交阵Di，使得

(2.1)

其中μi,λi∈, i=1,2.根据引理2.1， 容易证明， 要使得(A1,A2)不可分解，必须μ1≠μ2,λ1≠λ2. 若需要，在(2.1)两个等式的两边有选择的左乘矩阵

右乘D-1可以使μ1<μ2,λ1<λ2. 因此可以假设(A1,A2)是一个不可分解的矩阵对，使得(2.1)成立，并且μ1<μ2,λ1<λ2.

设实对称矩阵对(B1,B2)和(A1,A2)相似，则存在实可逆矩阵C，使得

Bi=CAiC-1，i=1,2.

固定(2.1)式中的D1，D2，考虑

它又相似于

或者

参见[2].利用简单的计算易得(A1,A2)总会相似于以下形式

其中μ1<μ2,λ1<λ2，θ∈(0,2π].

需要以上形式既有一般性又有唯一性.因此还需要做以下考虑.

要想改善水利工程管理，首先应加深对水利工程重要性的认识，全面提升工程队伍素质，同时完善管理体制，并注意规范监管制度，全面提升监管质量，将管理工作落实到水利建设各环节之中，并注意增加竣工以后的资金投入，加强后期管理与维护。具体来说，可以从下面几个方面改进管理方法。

⟺θ=ω+kπ,k∈.

因此如果限制θ∈[0,π),会得到θ=ω.

在相似等价意义下，如果要求实对称矩阵对不可分解且互不相同，需要在给定的相似等价类里确定一个唯一的代表元.首先我们需要找到满足下面等式的2×2可逆矩阵P，

(2.2)

假设P满足 (2.2).设

那么由(2.2)有λ1a12=λ2a12，以及λ1a21=λ2a21.因为λ1≠λ2，所以a12=a21=0. 因此

其中a11a22≠0.进而考虑若

成立，则当且仅当

成立，当且仅当

成立，当且仅当

成立，当且仅当

成立，当且仅当

成立.因为θ,ω∈[0,π),所以上式成立当且仅当

成立. 当且仅当

最后，如果

[1]王萼芳，石生明.高等代数 [M].3版. 北京：高等教育出版社，2003.

[2]Horn R, Johnson C. Matrix Analysis[M]. New York:Cambridge University Press,1985:69.

Indecomposable Standard Forms of Pairs of Real Symmetric Matrixes of Rank 2

HOURu-chen

(School of Mathematics and Information Science, Yantai University，Yantai Shandong 264005, China)

Under the similar equivalent condition, we describe all non-isomorphic indecomposable pairs of real symmetric matrixes of rank 2.

similar standard form; real symmetric matrix; a pair of matrix

2015-12-20；[修改日期]2016-03-29

山东省教育科学“十二五”规划2015年度“高等教育数学教学专项”一般资助课题; 高校代数系列课程一体化建设(YBS15018)

侯汝臣(1974-)，男，博士，讲师，从事代数表示论研究. Email: hourc@mail.ustc.edu.cn

O151.21

C

1672-1454(2016)03-0090-04