关于覆盖同余式的一个应用

管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)



关于覆盖同余式的一个应用

管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

建立了一组覆盖同余式并通过对非负整数n进行分类等方法，给出了使2kpn+1对每一个非负整数n均为合数的k值，这里素数p=7,13及p≡5(mod6).

覆盖同余式；合数；剩余；模

覆盖同余式的构造问题是数论中较为复杂的问题之一，目前这方面已有许多非常重要的成果[1-6].

由于覆盖同余式通过一切非负整数，故可用来解决一类与合数有关的数论问题.1980年国际数论会议上，著名数学家P.Erdös 曾提出“能否找到一个正整数k,使得k·2n+1对每一个非负整数n均为合数？”的求解问题.文献[7]利用覆盖同余式证明了k的存在性，并给出了21类这样的k值.作为该问题的延续，本文利用一组覆盖同余式证明了以下一般性的结果.

定理设素数p=7,13及p≡5(mod6)，则存在正整数k,使得2kpn+1对每一个非负整数n均为合数.

1　预备知识和引理

定义若每一个非负整数n都至少满足下列同余式中的一个：

n≡a1(modn1)，n≡a2(modn2)，…，n≡as(modns)，

(1)

这里1

引理1 n≡0(mod2)，n≡0(mod3)，n≡1(mod4)，n≡5(mod6)，n≡7(mod12)是一组覆盖同余式.

证全体非负偶数满足n≡0(mod2)；全体正奇数可按模12分成六类：

12r+1，12r+3，12r+5，12r+7，12r+9，12r+11，r=0,1,….

这里12r+3，12r+9满足n≡0(mod3)，12r+1，12r+5满足n≡1(mod4)，12r+11，12r+7分别满足n≡5(mod6)和n≡7(mod12).

引理2[8]设奇数n>1，则方程x2+x+1=yn仅有正整数解(x,y,n)=(18,7,3).

引理6设素数p>13且p≡5(mod6)，则存在素数q>13，使q∣(p3-1).

证只需证在题设条件下，存在素数q>13，使q∣(p2+p+1)，或

p2+p+1≡0(modq).

(2)

即可.

p2+p+1=7a·13b，

(3)

这里a,b是不全为0的非负整数.

当a=0或b=0或a,b同为偶数时,结合引理2知，式(3)不成立.下设a,b为正整数且a,b中至少有一个为奇数.

若a=b=1，则由式(3)得p2+p+1=91，解得p=9，不合题意.因此a,b中至少有一个是大于1的奇数.由式(3)得

(4)

s2-91r2=-3.

(5)

根据引理3～5，方程(5)的全部正整数解(s,……