二维离散型随机变量相互独立的判别准则*

陶　宝

(重庆工商大学 数学与统计学院,重庆 400067)



二维离散型随机变量相互独立的判别准则*

陶宝

(重庆工商大学 数学与统计学院,重庆 400067)

在二维随机变量独立性定义的基础上，根据联合概率分布与边缘概率分布的关系，给出了二维离散型随机变量独立性的判定定理；通过引入联合概率分布矩阵概念，从矩阵形式、矩阵的秩以及向量线性关系的角度，提出了判别独立性的新方法.

二维离散型随机变量；相互独立；联合概率分布矩阵；秩

设二维随机变量(X，Y)的联合概率分布函数为F(x，y)，随机变量X和Y的边缘概率分布函数分别为FX(x)，FY(y)，若对任意x，y∈R，都有

(1)

则称随机变量X与Y相互独立.

若(X，Y)为二维离散型随机变量，联合概率分布列为

文献[1]和[2]指出，随机变量X和Y的边缘分布列分别为

联合概率分布列和边缘概率分布列可以反映在同一个表格中，见表1.

表1　联合概率分布列与边缘概率分布列

若(X，Y)是二维连续型随机变量，文献[3]讨论了(X，Y)变换的概率分布，文献[4-5]讨论了X与Y相互独立性的判定准则.若(X，Y)为二维离散型随机变量，关于X与Y相互独立性的判定，文章给出了若干结论.

定理1对于二维离散型随机变量(X，Y)，X与Y相互独的充分必要条件是：

(2)

证明只需证明式(1)和式(2)等价.假设式(1)成立，为证式(2)，不妨假设x1

即式(2)成立．反过来，假设式(2)成立，那么

即式(1)成立，于是式(1)和式(2)等价.

在实际问题中，经常碰到二维离散型随机变量(X，Y)的取值为有限对的情形，这时它的联合概率分布列和边缘概率分布列可用……