关于Diophantine方程x2-8y2=1与y2-2nz2=1的公解

赵建红

（丽江师范高等专科学校 数学与计算机科学系，云南 丽江 674199）

关于Diophantine方程x2-8y2=1与y2-2nz2=1的公解

赵建红

（丽江师范高等专科学校 数学与计算机科学系，云南 丽江 674199）

利用递归序列、奇偶分析、同余的性质和Pell方程的解的性质等方法证明了Diophantine方程x2-8y2=1与y2-2nz2=1仅有公解（x，y，z）=（±3，±1，0）。

Diophantine方程；整数解；公解

设Z、Z+分别为整数集、正整数集，D1，D2∈Z+，m，n∈Z，Diophantine方程

的公解问题一直受到人们的关注。当m=n=1时，方程组（1）成为

方程组（2）是一类基本而重要的Diophantine方程组.近年来不定方程组（2）的求解问题一直受到数论爱好者的关注。其解可以用来解决形如文［1］的三次丢番图方程的求解问题。

对于方程组（2）的解数问题，主要结论详见文［2-7］；对于方程组（2）的具体解，主要结论为文［8］得出的当（D1，D2）=（2，3）时方程组（1）仅有正整数解

本文主要研究D=8，D=2n（n∈Z+）时方程组（2）的解12的情况，即得出了如下定理：

定理 设n∈Z+，则Diophantine方程

有且仅有一组公解

1　相关引理

引理1［9］设D＞0是非平方数，Pell方程

的基本解为（x0，y0），则方程

有解的充要条件是x0为平方数或为平方数。

引理2 Diophantine方程

仅有平凡解

证明 设Pell方程

的基本解为（x0，y0），由引理1知方程

的基本解为（3，1），x0=3不为平方数，

也不为平方数，故方程

无正整数解，故方程

仅有整数解

引理3 设Pell方程

的全部整数解为（xn，yn），n∈Z，则xn为平方数当且仅当n=0。

证明 设（xn，yn），n∈Z是Pell方程

的整数解，令xn=a2，代入方程

得

根据引理2得方程

仅有整数解

此时xn=1，从而n=0；反之，显然。

2　定理证明

证明 因为Pell方程

的基本解为（3，1），则其全部整数解可表为：

容易验证以下性质成立：

设

为方程组（3）的公解，则对任意的n∈Z，有

即

代入（3）式的

得

若n为正偶数，设n=2l，l∈Z+，则由