Boussinesq方程的精确解

赵雁楠，闫伟文

（山西工商学院 基础教学部，山西 太原 030006）

Boussinesq方程的精确解

赵雁楠，闫伟文

（山西工商学院 基础教学部，山西 太原 030006）

借助函数变换，得到了Boussinesq系统新的达布变换，而且线性系统（15）在（11）成立时自动成立。利用所构造的达布变换并且选择不同的种子解，可求得Boussinesq系统更多的精确解。

达布变换；Boussinesq系统；孤子方程；精确解

1　引言

孤子方程的研究是现代物理和非线性科学领域中极其重要的课题之一。对于孤子方程，近年来有许多求解的方法，比如反散射方法，双线性方法，贝克隆变换法，达布变换法，Painlevé分析法［1-5］等等。其中，达布变换是一种非常重要的方法。

本文考虑了非常重要的（1+1）维Boussinesq方程

文献［6］介绍了Boussinesq系统三类非线性长波方程中一类长波方程，它通过函数变换转化为（1+1）维Boussinesq方程（1），其中η是水波沿x方向的速度，ζ是水波的高度。对方程（1）做函数变换，可以导出可积方程Broer- Kaup（BK）系统

文献［7-8］借助Lax对分别利用一次和N次达布变换研究了BK系统（2）。

本文考虑了Boussinesq系统的另一种函数变换以及在该变换下新系统的Lax对，进而通过构造N次达布变换求得Boussinesq方程得更多精确解。

在本文的第二部分，通过对方程（1）做函数变换，得到了另一种新的系统和相应的Lax对，构造了相应的N次达布变换，而且这种达布变换和以前的达布变换不同；在第三部分，利用所构造的达布变换，通过选择种子解，我们获得了Boussinesq方程更多的精确解，第四部分是一个简短的总结。

2　达布变换

对方程（1）做函数变换

导出了方程组

该方程组有一个线性系统，即谱问题是