基于协方差矩阵重构的特征子空间投影稳健波束形成算法

孔　繁，冯　祺

(1. 中国电子科技集团公司第二十七研究所，郑州　450000;2. 北京理工大学信息与电子学院，北京　100081)



基础理论

基于协方差矩阵重构的特征子空间投影稳健波束形成算法

孔繁1，冯祺2

(1. 中国电子科技集团公司第二十七研究所，郑州450000;2. 北京理工大学信息与电子学院，北京100081)

当前，自适应数字波束形成算法已经在通信等科技领域中得到了广泛的应用。但是当阵列导引向量存在误差或者协方差矩阵估计不准确时，会导致常规的波束形成算法性能恶化。稳健的自适应波束形成算法，则可以较好地克服上述误差带来的性能下降问题。针对以上问题，提出了一种基于协方差矩阵重构特征子空间投影的稳健波束形成算法，并对该稳健波束形成算法进行了分析，最后通过仿真来验证算法的稳健性。

阵列信号处理；数字波束形成；稳健自适应波束形成

0　引　言

在阵列信号处理研究领域着重空间传输信号的获取、传输和处理，其中波束形成是一个重要的研究方向，尤其是在移动通信、无人机导航探测、声学、医学等许多学科中都有着广泛的应用[1-5]。波束形成可以分为两类，一类是需要接收数据的自适应波束形成方法，一类是不需要接收数据的波束形成方法。应用最多的是自适应波束形成方法，传统的自适应波束形成方法[6-7]采用向量加权，它针对每次快拍数据做一次加权，形成单个接收波束；文献[8]提出了一种矩阵加权的自适应波束形成方法，它是对每次快拍数据形成一组接收波束，这组波束累加形成总的接收波束。经典Capon算法[6]是向量加权自适应波束形成方法中的，这一类方法对于快拍数、指向误差、阵列校准误差等，比较敏感。基于线性约束最小方差准则(LCMV)的自适应波束形成通过计算权值, 将主波束对准期望信号方向, 在干扰方向形成零陷, 可以有效提高通信系统的抗干扰性能。但是在实际工程实践中指向误差是不可避免的、阵元位置误差及阵元相位误差等(统称为相位误差)使约束的导向矢量与真实期望信号的导向矢量不一致, 降低信干噪比, 严重影响系统的性能。

由于自适应波束形成对误差存在比较敏感的问题, 有很多文献提出各种稳健的自适应波束形成算法,如方向导数约束算法[9],矩阵锥消算法[10]及各种对角加载[11]方法等,但都要涉及到对计算协方差矩阵, 在快拍数较少的情况下，协方差估计不准同样会影响算法性能。文献[12]采用RLS 递归算法避开计算逆矩阵,有效降低了运算量,并能实时运算,但它的变对角加载方法在主波束指向上仍有偏差,而且在快拍数不是很大的情况下干扰抑制效果不好。在文中提出了一种新的稳健数字波束算法，主要思路是对阵列信号的协方差矩阵进行重构，使得在小快拍的条件算法的收敛速度加快，通过引入特征子空间投影增强了在指向存在误差条件下算法的稳健性，最后经过仿真分析验证了算法的有效性。

1　阵列信号模型

为了方便建模，不失一般性以线阵为例，阵元数为M，阵元间距为半个波长，假设接收阵的首个阵元为参考单元，并且假设目标回波信号为远场窄带信号，目标在方位角θ0处的导向向量为

(1)

其中的λ是对应发射射频信号的波长，d为阵元间距。经过采样，则第n次快拍的接受数据可以表示为

(2)

图1　波束形成系统框图

其中y(n) ∈CM×1, s0(n) 表示期望信号，si(n)表示干扰信号，k为干扰数，e(n) ∈CM×1表示接收到的噪声，N 为快拍数。阵元上施加一个复数的权值ω，权重处理的系统框图如图1所示。经过波束形成之后的接受信号为

(3)

其中(·)H表示共轭转置，ω是权重向量，ω=[ω1,ω2…ωM]T∈CM×1，(·)T表示矩阵转置，从上式中可以得到信号功率的估计可以表示为

(4)

(5)

2　经典的LCMV算法

采用上述的阵列信号数字波束形成模型，为了更清楚的表述问题，当期望信号、干扰和噪声不相关时接收信号的协方差矩阵这里进一步表示为

(6)

(7)

(8)

最优权系数能够保证在期望信号方向增益一定的情况下，使系统输出功率最小，能够有效的抑制干扰信号和噪声。阵列的输出功率表示为

(9)

3　自适应波束形成算法

在本节，提出一种新的自适应波束形成算法。该方法的核心思想是重构协方差矩阵，然后再利用特征子空间投影估计信号的导向矢量。重构协方差矩阵能够增强协方差矩阵在小快拍数下的稳健性，特征子空间投影估计导向矢量则解决导向矢量失配时指向误差的问题。

之前的许多稳健性波束形成关注较多的是协方差矩阵的对角加载因子选取问题，这一类算法在信噪比增大的情况下会恶化。因此这里对协方差矩阵进行重构，直接重构协方差矩阵RI+N来取代寻找对角加载量。

(10)

(11)

其中的a(θ)是导向矢量，阵列结构已知，可以计算出一定θ角对应的导向矢量，这里的a(θ)不是某个信号的导向矢量，而是指任意可能的来波方向的导向矢量。其中Ω是用来代表可能的来波方向的空间。实际中期望信号的来波方向是可以通过DOA估计出来的，而且阵列结构已知的情况下，可以将波束宽度作为取舍范围，从而划分出期望信号可能的来波方向空间Ω。在使用特征子空间投影解决导向矢量失配之前，通过协方差矩阵重构，可以加速协方差矩阵的收敛，使得协方差矩阵的估计更精确。将重构后的协方差矩阵应用于计算自适应权重系数可以得到

(12)

(13)

(14)

然后将式(14)代入式(12)中替换预设的导向矢量，最终得到基于协方差矩阵重构的特征子空间投影稳健权重系数为

(15)

由于该权重矢量位于信号和干扰的子空间内, 波束形成器能够增强稳健性, 提取出期望信号。

4　仿真结果

通过仿真验证算法的性能，仿真采用一维线阵的形式，实际中可以应用于二维面阵，只需将阵列结构拉成线阵处理，因此为了简单起见以一维线阵为例。假设阵元数M=10，信噪比0 dB，以通信系统阵列天线的数字波束形成应用为例，假设期望信号的来波方向为-20°方向。同时存在两个干扰信号，干扰信号来波方向为20°和40°方向，干噪比均为30 dB，快拍数500，采用LCMV方法和文中提出方法(Rec-fsp方法)进行比较。

如图2所示，假设指向误差为零，也就是假设的来波方向和实际的来波方向完全一致，此时LCMV方法和Rec-fsp方法均能将波束对准-20来波方向，并且能够在20°方向和40°方向形成零陷，但是LCMV方法的旁瓣明显高于Rec-fsp方法。Rec-fsp方法在相同的情况下可以由更低的旁瓣。

图2　指向误差为零时500次快拍的阵列方向图

改变仿真条件减少快拍数为50次，其他仿真条件不变，如图3所示，可以看到快拍数对LCMV方法的影响很大，50次快拍用来逼近真实N区域无穷大时的协方差矩阵会有很大的误差，因此普通的LCMV方法性能会急剧下降，主波束变形，旁瓣升高，抗干扰零陷变浅。而采用重构算法的Rec-fsp方法在快拍数为50时仍保持较好的性能。

图3　指向误差为零时50次快拍的阵列方向图

进一步恶化仿真条件，真实情况中指向误差总是存在的。假设真实的来波方向和预设的波束方向存在5°误差，快拍数50，信噪比、干噪比等其他仿真条件不变。仿真结果可以看到，传统的LCMV算法出现性能严重恶化。实际来波方向为-20V，预设波束指向由于有5度误差为-15°，此时LCMV算法在-20°方向形成了零陷，波束最大方向指向了-15°。而文中提出的Rec-fsp算法在低快拍数存在指向误差的情况下仍然能够保持很好的性能，在真实的来波方向-20°方向形成主波束，并在20°和40°方向形成零陷，旁瓣性能在不加权的情况下达到理论的-13 dB。

图4　指向误差为5度时的阵列方向图

图5　指向误差为零输出SINR随快拍数变化图

假设快拍数变化，阵列结构不变，期望信号的信噪比为0 dB，干扰信号的干噪比为30 dB。期望信号的来波方向和干扰方向与之前的仿真相同。假设理想情况下，预设的指向和期望信号的真实指向一致，即指向误差为零。如图5所示，进行60次蒙特卡洛仿真实验，可以看到文中提出的Rec-fsp方法在快拍数大于30次后已经基本上可以达到理论上的最优信干噪比，收敛速度快。而传统的LCMV算法在快拍数大于300后输出信号的信干噪比接近理想值，收敛速度明显较慢，即在无指向误差情况下，文中提出的方法在小快拍数下就有较好的信干噪比性能。

如图6所示，恶化仿真条件，使得预设导向矢量和实际来波方向偏差5°，其他仿真条件不变，可以看到文中提出的方法在快拍数不到50次就可以很好的逼近理论值所能达到的信干噪比。但是由于指向误差的存在，使得LCMV算法性能不再随快拍数增加而有所改善，快拍数增多LCMV算法的输出信干噪比依旧收敛在-10 dB。即在指向误差存在的情况下，文中提出的方法依然可以在小快拍数情况下取得较好的性能，而LCMV算法性能恶化严重。

图6　指向误差为5°输出SINR随快拍数变化图

5　结　语

本文提出了基于协方差矩阵重构特征子空间投影的稳健波束形成算法(Rec-fsp方法)，该方法首先将传统的阵列信号协方差矩阵借助空间谱估计进行重构，然后利用重构的协方差矩阵计算导向矢量特征子空间投影空间，经过特征子空间投影修正指向误差。经过仿真验证Rec-fsp方法在快拍数很少的情况下就可以取得较好的输出信干噪比，加快了算法的收敛速度，增强了算法的实时性。而且实际环境下导向矢量总是存在误差的，Rec-fsp方法受指向误差的影响小，具有较强的实用性，综上所述该算法具有很好的稳健性。

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孔繁(1984—)，男，河南人，工程师，博士，主要研究方向为阵列信号处理；E-mail：fangod@163.com

冯祺(1995—)，男，河南人，主要研究方向为电子科学与技术。

Robust Adaptive Beamforming Based on Covariance Matrix Reconstruction and Feature Subspace Projection

KONG Fan1, FENG Qi2

(1. The 27thResearch Institute of China Electronics Technology Group Corporation, Zhengzhou, 450000;2. School of Information and electronics Beijing Institute of Technology, Beijing, 100081)

Adaptive digital beam forming algorithms have been widely used in the field of communication. Performance of conventional beam forming algorithms drops sharply due to steering vector errors of array or covariance matrix estimation. Robust adaptive digital beam forming algorithms can overcome fairly well the performance degradation caused by most of the errors mentioned above. In order to solve this problem, a robust adaptive digital beam forming algorithm based on covariance matrix reconstruction and feature subspace projection is proposed in this paper, and the analysis of this method is carried out. Finally, the simulation results verify the robustness of the algorithm．

array signal processing; digital beam forming; robust adaptive beamforming

10.3969/j.issn.1673-5692.2016.04.007

2016-05-31

2016-07-08

TN911.7

A

1673-5692(2016)04-371-05