点击一元二次方程问题中的等量关系

吴琳

点击一元二次方程问题中的等量关系

吴琳

可列一元二次方程解决的问题有多种，不管哪类问题，要列出一元二次方程，其关键在于寻找问题中的等量关系.本文试通过下列几个问题，和同学们一起来探讨列一元二次方程的几种常见等量关系.

一、增长率问题

例1（2016·湖南永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

【思路分析】（1）本题隐含的等量关系是“标价×（1-降价百分率）2=售价”，将售价、标价和降价百分率代入等量关系，即可得到解决问题所需的一元二次方程；（2）本题包含一个不等关系“第一次降价时销售总利润+第二次降价时销售总利润≥3120”，而销售利润=销售件数×每件利润.将销售件数和每件的利润分别代入不等关系，即可得到一个不等式.

解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意得：

400（1-x）2=324.

解得x=0.1=10%或x=1.9（不合题意，舍去）.

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

（2）设第一次降价后至少要售出该种商品m件，根据题意得：

［400（1-10%）-300］m+（324-300）（100-m）≥3120.

解得m≥20.

答：第一次降价后至少要售出该种商品20件.

【方法点拨】增长率问题中，若增长的基数为a，每次增长的平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a（1+x），第二次增长是以a（1+x）为基数的，两次增长后的数量为a（1+x）2；基数是a，两次平均降低……