变化多端的全等三角形

万广磊

变化多端的全等三角形

万广磊

全等三角形的魅力在于运动.中考数学试题一般以平移、轴对称（翻折）和旋转为图形变换方式，综合考查全等三角形的判定与性质.下面以2016年的中考数学题为例进行剖析.

一、平移

例1（2016·湖北武汉）如图1，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE.

图1

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件结合图形选择合适的方法.要证AB∥DE，需证∠ABC=∠DEF，因此考虑证明它们所在的两个三角形全等.已知有两组边分别相等，再证明另一组边分别相等，利用“SSS”证明即可.具体步骤：

证明：∵BE=CF，∴BC=EF；

在△ABC和△DEF中，

∵BC=EF，AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE.

【点评】纵观本题，图中的△DEF与△ABC是通过平移得到的，平移不改变图形的形状和大小，平移前后对应线段相等且平行（或在同一直线上）.在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据“SSS”求解.已知两边和其中一边的对角分别相等，不能判定三角形全等，即不存在“SSA”判定三角形全等的方法.如图2所示，AB=DE，∠B=∠DEF，AC=DF，但是△ABC与△DEF不全等.

图2

图3

二、轴对称（翻折）

例2（2016·江西）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，求证：DE∥BC.

【分析】本题考查了三角形的折叠和平行线的判定，解题的关键是运用轴对称图形的性质.要证明DE∥BC，必须考虑到∠AED=∠ACB= 90°，而如何得到∠AED=90°，就联想到ED平分一个平角，这可以由折叠得到.

证明：由折叠可知：△ADE≌△CDE，

∴∠AED=∠CED，

又∵点A与点C重合，∴∠AEC为平角，

∴∠AED=∠CED=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC.

【点评】图中的△ADE与△CDE是通过折叠得到的，折……