利用 Matlab构建“波的叠加”图样

刘海山

摘 要： 两列机械波相遇叠加区域的位移、速度、加速度遵循运动合成的矢量叠加原理。随着波的形式、能量向前继续传播，叠加的区域波形图时刻改变，因此波形图的建构抽象、复杂，学生不易掌握，本文首次利用Matlab软件模拟构建两列波的叠加区域不同时段的波形图，为高中物理新课程教学、学生选修学习借鉴。

关键词： 波的叠加 Matlab 矢量叠加

高中物理“波的叠加原理”的三维目标：知道“波的叠加原理”，什么是“波的干涉”条件、干涉现象和干涉图样[1]。对于涉及波的叠加区域的动态图形往往较少，学生思维无法构建，很多学生感到无法下手。本文利用Matlab软件模拟构建一维下两列相向运动的波，在不同参数下的相遇情况，以正（余）弦波为例。

一、频率f、振幅A、波长λ相同且保持不变，起振方向不同

通过matlab模拟结果如系列图1，条件是以正（余）弦波为例，传播方向相反，f、A、λ相同且保持不变，起振方向不同。

其中图1-1为两列波相遇前满足波的独立性传播原理，各自保持自己的传播形式，互不影响。图1-2至图1-7分别为每隔1/4T的波的叠加图像，其中1/4T内的波的叠加图形基本保持不变。图1-4为半个周期时刻叠加，由于振动方向相反，在叠加部分出现“消失”[2]-[3]，根据运动合成的矢量叠加原理，位移矢量和为0；速度的合成遵循运动合成的矢量叠加原理，此时图中对于a点，向右传播的波使其振动的速度向上，向左传播的波使其振动的速度也向上，故a点的振动合速度应向上。对于b点，向右传播的波使其振动的速度方向向下，向左传播的波使其振动速度也向下，故b点的振动合速度应向下。

图1-7可观察到两列波重合叠加，振幅加倍；此时图中c、d质点的振动方向是c向上，d向下。接下来两列机械波的形式和能量各自传开，形成的图形如图1-8，按着图1-6、1-5、1-4、1-3、1-2逆着观察。

二、频率f、振幅A、波长λ、起振方向相同且保持不变

通过matlab模拟结果如上图，条件是以正（余）弦波为例，传播方向相反，f、A、λ、起振方向相同且保持不变。

其中图2-1为两列波相遇前各自传播，互不影响。图2-2至图2-13分别为每隔1/4T的波的叠加图像，其中1/4T内的波的叠加图形基本保持不变。

图2-7为一个周期时刻叠加，由于传播方向相反，在叠加部分出现“消失”，根据运动合成的矢量叠加原理，位移矢量和为0，即出现一条直线。由图中我们可观察到第一个周期和第二个周期叠加部分的图形上下对称，形成的图形基本稳定。图1-13为相遇之后各自继续向前传播，互不影响。

三、频率f、波长λ、起振方向相同且保持不变，振幅A不同

通过matlab模拟结果如上图，条件是以正（余）弦波为例，传播方向相反，f、λ、起振方向相同且保持不变，振幅A不同。图3-2至图2-13分别为每隔1/4T的波的叠加图像，其中1/4T内的波的叠加图形基本保持不变。图3-7为一个周期时刻叠加，由于传播方向相反，振幅不同，在叠加部分出现“削弱”，出现一个振幅为1的正弦波。由图中我们可观察到第一个周期和第二个周期叠加部分的图形左右对称，形成的图形基本稳定。图3-13为相遇之后各自继续向前传播，互不影响。

四、A、λ、起振方向相同且保持不变，f不同

通过matlab模拟结果如图4，条件是以正（余）弦波为例，传播方向相反，A、λ、起振方向相同且保持不变，f不同。图4-2至图4-12为各时刻的波的叠加图像，其中每个1/4T周期内，两列波的叠加形成的图形，一直处于变化状态，无法寻找出规律。图4-12为相遇之后各自向前传播，满足波的独立性传播原理，与f无关。因此，我们可以巧用波的图形解释，为什么在干涉现象中要求两列波的频率必须相同。

总之，运动的合成遵循矢量叠加原理，两个直线运动的合运动可以较容易地描绘出，而在有关波的叠加问题中，波的叠加波形图较抽象，本文首次利用Matlab软件构建一维两列正弦波在不同参数下的叠加，清楚地描绘波的叠加各时间段的图形，直观得到频率相同的两列波叠加可以得到稳定的干涉图样。同时，本文也为以后多维构建波的叠加奠定了基础，为广大教师教学和学生学习提供参考。

参考文献：

[1]廖伯琴.物理教师用书[M].山东科学技术出版社，2007.

[2]王喜林.波的干涉疑难解答[J].高中数理化，2012（6）：36-3.

[3]裴财如.巧用波形图解释波的干涉现象[J].江西教育，2013（18）.