解析2016年全国高考数学理科I卷第18题

华南师大附中（510630） 周建锋



解析2016年全国高考数学理科I卷第18题

华南师大附中（510630） 周建锋

本文结合2016年全国高考数学理科I卷的立体几何解答题，全面阐述了立体几何中求解二面角的几种常用方法：向量法（包括平面法向量法和棱法向量法）、三垂线法及变式、定义法、三面角公式等，其中还包含了三垂线法中，同时探讨了如何构造面面垂直从而为考虑线面垂直创造条件等问题.

2016年全国高考理科I卷第18题是一道立体几何题，乍一看题目有些怪异，有些考生考后甚至质疑题目条件有问题，其实仔细分析还是可以分析清楚的.我们先来看看原题：

如图1，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90◦，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60◦.

图1　

（I）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

第一小题容易证明，这里就不再赘述.在第二小题中，有些考生认为点C没法确定，其实是因为他们没有看清题目条件“五面体”，也就是说D、C、E、F共面，A、B、C、D共面，这样由AB//EF可推出AB//平面DCEF，再由线面平行的性质，AB//DC，从而DC//EF，而且易证∠CEF是二面角C-BE-F的平面角即为60◦，C点的位置是可以确定的.

下面谈谈第二小题的做法.

一、向量法

解一由（1）知∠DFE=∠CEF=60◦，因为AB//EF，AB̸⊂平面EFDC，EF⊂平面EFDC，所以AB//平面ABCD，AB⊂平面ABCD，因为面ABCD∩面EFDC= CD，所以AB//CD，所以CD//EF，所以四边形EFDC为等腰梯形.

图2　

其实用向量法除了用平面法向量法之外，也可以用棱法向量法.

解二如图3，分别作AG⊥BC，垂足为G，作EH⊥BC，垂足为H，则向量的夹角即为二面角E-BC-A的平面角.设则

用棱法向量法的优点是不必担心两个向量的夹角与二面角大小不一致，但前提是两个棱法向量的起点要选棱上的垂足点.

图3　

图4　

二、定义法作二面角的平面角

在不方便作三垂线法的时候，作二面角的平面角可以考虑用定义法，先过点E作棱BC的垂线，再过垂足点在另一个半平面内作棱的垂线，构成二面角的平面角.

解三如图4，过点E作EG⊥BC，垂足为G，再过点G在平面ABCD内作BC的垂线，与BA延长线交于点H，连结HE，则∠EGH即为二面角E-BC-A的平面角.设DF=1，在Rt△BEC中，CE=1，BE=2，EG是斜边BC上的高，则

在等腰梯形ABCD中，

三、三垂线法作二面角的平面角

本题中若直接用三垂线法作二面角E-BC-A的平面角是不可能的，可以考虑作二面角E-BC-A的补角的平面角.

解法四在梯形ABCD中，过点B作AB的垂线，交DC延长线于点G，连结EG.过点E作GB的垂线，垂足为M，过点M作BC的垂线，垂足为N，连结EN.因为AB⊥BE，AB⊥BG，BE∩BG=B，所以AB⊥平面BEG，所以平面BCG⊥平面BEG，所以EM⊥平面BCG，所以EM⊥BC，而BC⊥MN，MN∩EM=M，所以BC⊥平面MNE，所以BC⊥NE，所以MNE是二面角E-BC-A的补角E-BC-G的平面角.

图5　

在Rt△BEC中，

在解法三中用到了两个技巧，一是作原二面角的补角，二是构造了过点E与平面ABCD垂直的平面EBG，为过点E作平面ABCD的垂线创造了有利条件.

四、三垂线法的变式

图6　

图7　

解法五在本题中，过点E作EG⊥BC，垂足为G.连结AE、AG.

由（I）的结论，平面ABEF⊥平面EFDC，所以点C到平面ABEF的距离即为点C到EF的距离，也即为梯形EFDC的高h1，

五、三面角公式

如图8，从O点出发的三条线OP、OM、ON组成了三个面角∠POM、∠MON、∠NOP，以及三个二面角P-OM-N、M-ON-P、N-OP-M.不妨设二面角N-OP-M的平面角为θ，∠POM=α、∠NOP=β、∠MON=γ，则有cosγ=cosαcosβ+sinαsinβ cosθ.这就是三面角公式.

注意到这个等式中θ是二面角，其余三个角都是面角，而面角的计算通常都是比较容易的，所以把二面角公式转化为三个面角的计算体现了空间角向平面角的转化思想.虽然三面角公式不在高考考纲范围内，但可以作为一个引理先证明再使用，它的证明并不复杂.

图8　

图9　

另一方面，在△ABC中，

现在再回过头来看原题，

图10　

［1］周建锋.利用空间中的动点解决立体几何求值问题［J］.中学数学研究，2009，3.

［2］罗碎海等.数学探究与欣赏［M］.广州：暨南大学出版社，2010.