Beris-Edwards模型在三维空间中的整体适定性

黄丙远, 丁时进, 黄金锐, 黎泉荣

(1.韩山师范学院数学与统计学院,潮州 521041;2.华南师范大学数学科学学院,广州 510631;3.五邑大学数学与计算科学学院,江门 529020)



Beris-Edwards模型在三维空间中的整体适定性

黄丙远1,2, 丁时进2*, 黄金锐3, 黎泉荣2

(1.韩山师范学院数学与统计学院,潮州 521041;2.华南师范大学数学科学学院,广州 510631;3.五邑大学数学与计算科学学院,江门 529020)

考虑了由Navier-Stokes方程组与Q张量抛物系统耦合所描述的一类Q张量动力学模型在三维空间中的Cauchy问题, 利用能量方法与经典的Friedrich方法证明了弱解的整体存在性,估计了大粘性系数条件下整体弱解的高阶正则性, 进而得到整体强解的存在性, 并得到了其弱强唯一性.

Q-张量; 向列型液晶; 整体解; 唯一性

向列型液晶一般有3类连续性理论[1]: Oseen-Frank 理论是最经典的理论，但只能描述点态奇性;Ericksen 理论引入了1个序参数，推广了Oseen-Frank 理论；Landau-de Gennes 理论作为更一般的连续性模型，可以更加完整地描述液晶的物理特性，如解释单轴与双轴液晶. Landau-de Gennes 理论又称Q张量理论,Q张量表示序参数, 是1个对称迹零的3阶矩阵，可以看作微观模型中的分布函数f(x,m,t)的二阶矩:

Q张量的静态理论已经得到了广泛的研究[2-6]. 在Q张量理论中, 能量泛函由弹性能和bulk能构成:

FLG[Q]=∫Ωfelasticity(Q,▽Q)(x)+fbulk(Q)(x)dx,

felasticity(Q,▽ Q)=

其中弹性能密度 felasticity依赖于Q的梯度, bulk能密度fbulk没有包含Q的梯度;Li(i=1,2,3,4,5)为弹性系数；a、b、c是依赖于密度和温度的常数;eijk是Levi-Civita记号, 即当(i,j,k)为偶置换时, eikj=1; (i,j,k)为奇置换时,eikj=-1; 如果有下标重复则eikj=0.

BERIS和EDWARDS[7]提出了Q张量的动力学模型:

(1)

满足初始条件:

(2)

P(x,t):3×[0,+∞)®表示压力, Dij=(ui,j+uj,i)/2,Ωij=(ui,j-uj,i)/2,Γ,μ>0,

以及应力张量

σs=μD-F(Q,HQ),σa=Q·HQ-HQ·Q,

其中，

如果F(Q,A)中的ξ=0,PAICU和ZARNESCU证明了弱解在二维与三维中的整体存在性、光滑解的Lyapunov的存在性, 并使用对消的手段得到二维空间解的更高阶正则性[8]；讨……