开放探究，殊途同归

廖光明

笔者曾多次教学过《三角形的面积》这一课时，在三角形面积公式推导过程的探究活动中，会根据学情引导学生选用不同的探究方法，大胆放手让学生小组合作学习，互教互学，顺利推导出三角形面积的计算公式，从而理解掌握并实际应用。

【教学片断一】

教师布置每个学生课前自己做一个平行四边形或长方形。

课堂上提出下面的问题让学生思考、操作：（1）谁能把自己做的平行四边形或长方形剪成两个完全一样的三角形？（2）比一比，这两个三角形的面积与原来的图形的面积有什么关系？（3）想一想，怎样求三角形的面积？试着写出三角形的面积公式。

学生的小组展示汇报：

生1：我是沿着平行四边形的对角线剪成两个三角形。这两个三角形可以重合，所以它们的面积相等。由此我知道每个三角形的面积是原来平行四边形面积的一半。每个三角形与原来的平行四边形等底等高。所以我可以推导出三角形的面积=底×高÷2。

生2：沿长方形的对角线也可以分割成两个完全一样的三角形，也可以推导出三角形的面积计算公式。

教师归纳：我们用的“分割”的方法。“底×高”求出的是平行四边形的面积，分割成的每个三角形的面积是它的一半，所以再用“底×高÷2。”

【教学片断二】

教师给学生准备了操作材料：每组都是完全一样的两个三角形，分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

强调操作指导：请小组长分好工，任选一组两个完全一样的三角形，看能不能拼成平行四边形或长方形？

操作完成后小组交流：拼成的图形与每个三角形的面积、底和高分别有什么关系？你能推导出三角形的面积计算公式吗？

学生的小组展示汇报：

生1：我们小组发现，用两个完全一样的三角形都可以拼成平行四边形。每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，每个三角形与拼成的平行四边形等底等高。所以我们推导出三角形的面积=底×高÷2。

生2：用两个完全一样的三角形还可以拼成一个长方形，同样可以推导出三角形的面积计算公式。

【教学反思】

新理念注重学生的学，强调学生学习的过程与方法，这是引导学生学会学习的关键。所以在三角形面积公式的推导探究过程中，必须注意了以下几点：

第一，设计不同层次的操作方案，根据学生的学情选择合适的探究方法。

教学片断一是用“分割”的方法。继承了上一课时的思路，但又不完全相同，把平行四边形分割成两个完全一样的三角形，从而达到了探究目的。虽然探究性不够强，但是能为“双拼”提供铺垫作用。

教学片断二是学习用“双拼”的推导方法。它为后续学习梯形面积公式的推导打基础。可是当我们再静静地思考一下，在这节课中学生真就理解了“两个完全一样的三角形拼成的一定是平行四边形”吗？拼成的是不是平行四边形怎么证明呢？如果采用这种探究方法前，探索了“分割”的方法，这些问题就迎刃而解了。所以片断一和片断二两种方法是互为补充的两种不同思路方法。

第二，教师提供的操作材料都具有一般性和开放性的特点。每种方案都提供了各种有代表性的图形，提供各种可能的情况让学生去探究，从而使得出的结论具有说服力。

第三，这一课时还要做到把课堂的主动权还给学生，把话语权交给学生，让学生真正成为课堂的主人。这些教学片断中，学生在探索活动中，在不断争辩中深刻体验和感悟了三角形面积计算公式的推导过程。

第四，课堂中合理把控时间，提高探究效率。学生要在规定的时间完成任务，所以教师要做好操作指导，提出的探究问题要有明确性，操作方法要有指向性。这样才能提高学生的动手实践效率。

三角形面积推导过程的探究，既有区别也有联系。教学片断一和教学片断二是两个完全相反的推导过程：一个是由合到分，一个是由分到合，殊途同归。

教师不是牵着学生的鼻子走，而是让学生自己去独立探索。学生在探究活动中是有自由空间的，学生体验了“再创造”的乐趣。学生在开放的探究方法中，用不同的方法能得出相同的结论，就好像走了不同的路线都能到达同一个地方。因此，数学学习中，探究的过程和结果是同样重要的。