方程φe（n）=（e=1，2，4）的可解性

王容，廖群英

（四川师范大学数学与软件科学学院，四川 成都　610066）

方程φe（n）=（e=1，2，4）的可解性

王容，廖群英

（四川师范大学数学与软件科学学院，四川 成都610066）

利用已有的广义欧拉函数的准确计算公式来研究方程φe（n）的可解性，其中n为正整数，d为n的正因子.并利用初等的方法和技巧给出方程的全部正整数解（n，d）.

广义欧拉函数；丢番图方程；正整数解

1　引言

定义 1.1［1-2］正整数n的广义欧拉函数定义为：

即φe（n）等于序列中与n互素的数的个数，其中e为正整数.容易证明：

其中［·］是高斯函数，µ（n）是麦比乌斯函数，即

其中且αi≥0，pi（1≤i≤s）为不同的素数.特别的，当e=1时，即

熟知，φ（n）表示序列0，1，2，···，n-1中与n互素的整数个数，即著名的欧拉函数［3］.该函数有着很广泛的应用，例如，求离散数学中循环群的生成元，同时它也是RSA公钥密码体制得以建立的重要数学工具之一［4］.

事实上，φe（n）的定义是蔡天新等人为将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任意整数的平方时所给出的.易知

进而，蔡天新等人给出了

的准确计算公式［5-7］.

蔡天新等人不仅完全确定了广义欧拉函数 φe（n）（e=1，2，3，4，6）的计算公式，还研究了φe（n）和φe（n+1）（e=4，6）同为奇数时n的取值；同时，近几年也有很多关于欧拉函数和广义欧拉函数方程的研究.比如，吕志宏［8］用初等的方法研究了方程

的可解性.孙翠芳，程智［9］研究了方程

的可解性，同时获得了该方程的所有正整数解，其中k为素数.田呈亮等人［10］给出了方程

的所有正整数解.同样，人们也希望利用广义欧拉函数的准确计算公式来讨论一些不定方程的解.本……