由一道高考试题引发的思考

李平川++崔成军

1.问题提出

题目（2009年辽宁高考理科数学试题）已知椭圆C过点A（1， ），两个焦点为（-1，0）和（1，0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

本题第（1）问椭圆的标准方程为 + =1，第（2）问主要考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般等数学思想.立意深刻，有内涵.解题过程略，对于第（2）问，注意到点A（1， ）的特殊性，这个点是椭圆的一条通径（过焦点作长轴所在直线的垂线与椭圆交于A，B两点，AB是椭圆的一条通径）的端点，直线的斜率是定值，这个定值恰好是椭圆的离心率.那么本题能否推广到一般情形呢？下面本文将对其进行探究.

2.问题探究

探究1：已知椭圆C： + =1（a>b>0），点A（-c， ）是椭圆的一条通径的一个端点，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，这个定值是椭圆的离心率的相反数.

证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线AE的方程为y=k（x+c）+ ，代入椭圆方程，整理得（b +a k ）x +（2kab +2k a c）x+b +2kb ac-a b =0.

根据韦达定理x -c=- ，解得x = .

因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，x = .

x +x = ，x -x = .

k = = = =-e证毕.

上述高考题中的A（1， ）是位于第一象限的通径的一个端点，根据椭圆的对称性，属于探究1的特殊情形.它的逆命题经证明也成立，于是得到.

探究2：已知椭圆C： + =1（a>b>0），点A（-c， ）是椭圆的一条通径的一个端点，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线EF的斜率为定值，这个定值是椭圆的离心率的相反数，那么直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.

证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线EF的方程为y=-ex+m，代入椭圆的方程整理得

（b +a e ）x -2a mex+m a -a b =0.

x +x = ，x x = .则有

（-ex +m）（x +c）+（-ex +m）（x +c）=-2ex x +（m-ec- ）（x +x ）+2mc- c

=2mc（a -b -c ）=0.

k +k = +

= =0.

即直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.证毕.

椭圆有上述性质，经证明双曲线，抛物线也有类似的性质，于是又得到.

探究3：已知双曲线C： - =1（a>0，b>0），点A（-c， ）是双曲线的一条通径的一个端点，E，F是双曲线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为定值，这个定值是双曲线的离心率的相反数.

探究4：已知抛物线y =2px（p>0），点A（ ，p），E，F是抛物线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为定值，这个定值为-1.

证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线AE的方程为y=k（x- ）+p，代入抛物线的方程y =2px，整理得k x -（pk -2kp+2p）x+ p -p k+p =0.

根据韦达定理x + =- ，解得x = .

因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，x = .

x +x = ，x -x = .

k = = = =-1证毕.

探究3，4的逆命题也成立，证明略.

由此得到圆锥曲线的一个统一性质：

已知点A是圆锥曲线Γ的一条通径的一个端点，E，F是圆锥曲线上的两个动点，且k +k =0则k =|e|.它的逆命题也成立.

3.解后反思

高考试题汇聚了命题专家的智慧与心血，如果我们能最大限度地发挥试题的探究功能，教师才能近距离与命题专家进行心灵交流，同时解题后的反思可使理解进入深层次，进而诱发新的想法，展开新的探究，在探究中升华，在升华中让能力生根.