不在端点处的最值一定是极值吗？

申爱伟

1.提出问题

笔者在一次高二公开课听课中遇到这样的问题：如果函数的最值不在端点处取到，那么这个最值一定是函数的极值。

乍一看，好像是对的，学生也一致认为是对的，老师也宣布没错，就讲下一题了。但笔者很快举出了一个反例——常函数。比如：y=1，x∈R，该函数处处都能取到最值，而这个最值却不是函数的极值。事实上，常函数没有极值。

课后研讨中，点评老师还给出了另一个反例：y=|x|，该函数x=0在处取到最小值，但这个值不是极值。理由是该函数在x=0处不可导，而函数在某点处导数为零是函数在该点处取极值的必要不充分条件。

2.回归定义

那么，这些“反例”正确吗？

李邦河院士说：“数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧。”让我们回到概念上。苏教版数学必修1第39页：

一般地，设y=f（x）的定义域为A。如果存在x ∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤f（x ），那么称f（x ）为y=f（x）的最大值，记为y =f（x ）；如果存在x ∈A使得对于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x ），那么称f（x ）为y=f（x）的最小值，记为y =f（x ）。

苏教版数学选修2-2（文）第30页：函数图像在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f（x ）比它附近点的函数值都要大。我们称f（x ）为函数f（x）的一个极大值。

文第32页指出：函数f（x）在x 处取得极大值，指在x 附近f（x ）比其他函数值都大，极大值是相对于函数定义域内某一局部而言的。最大值是相对于函数定义域整体而言的。

由这个描述性定义可见，函数的极值是根据单调性来的，函数先增后减，一定出现极大值，函数先减后增，一定出现极小值。极值表征的是函数局部的性质，即某点处的函数值比它附近点的函数值都大（或小）。也就是说，并不涉及函数是否可导。第二个反例不成立。y=|x|在x=0处的函数值比它附近的函数值都要小，所以在该点处取到极小值。

那为什么我们常常通过求导，令导数等于0，判断两侧导数值正负求函数的极值呢？那是因为我们在高中接触到的求极值的函数往往是可导的，所以引发了误解。这里的导数为零是有前提的。事实上，《数学分析》教材（文）给出了费马定理：设函数f在点x 的某邻域内有定义，且在点x 可导。若点x 为f的极值点，则必有f′（x ）=0。

而第一个反例则完全符合定义。常函数处处取到最值，但处处不是极值。

3.错因分析

究其原因，还是对极值和最值的概念认识不清。人教社章建跃博士强调：数学教师必须特别重视概念教学，学生的概念理解和应用水平是衡量教学质量的最重要标准。最值的定义借助了高等数学中“上（下）确界”的意义与形式，定义中既含有等式，又含有不等式；既含有全称量词（“任意”、“都有”），又含有存在量词（“存在”），具有较强的逻辑性、抽象性和典型的形式化特征。因此，教学中，教师应当从函数最值的几何直观入手，利用丰富具体的材料、精心设计的问题，经历观察、比较、辨析、归纳、概括等思维活动，经历从图形表征到自然语言到形式化定义的形成过程，达到对概念的实质性理解，感悟蕴含其中的数形结合思想，切不可一带而过。对于定义中的符号，要仔细推敲，提高学生的数学阅读理解能力。在调查中了解到，很多学生不认为常函数处处取到最值，原因是忽略了最值定义中的等号。

最值的教学要求是“理解”。对于极值，教学目标的要求是“了解”。苏教版教材中只给出描述性概念，如果用符号化定义，则可定义为：若函数f在点x 的某空心邻域U （x ）内对一切x∈U （x ）有f（x ）>f（x），（f（x ）

4.实战练习

（1）对于函数f（x），如果f（x）≤c（c为常数）对定义域中的每个自变量x均成立，那么c一定是函数y=f（x）的最大值吗？如果f（x）≤f（x ）对于定义域中的每个自变量x均成立，那么f（x ）一定是函数的最大值吗？

（2）如果函数f（x）有极小值f（a），极大值f（b），那么f（a）一定小于f（b）吗？试作图说明。如果函数f（x）有最小值f（a），最大值f（b），那么f（a）一定小于f（b）吗？

答案：（1）否；是（2）否；否。

参考文献：

[1]徐稼红.普通高中课程标准实验教科书：数学选修2-2.江苏凤凰教育出版社，2012.

[2]华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社，2001.

[3]陆学政.应重视“函数最值”的概念教学.数学通报，2016，1.